Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Kapitel 13QuantenstatistikDie im Kapitel 12 abgeleitete makrokanonische (Gibbs-) und kanonische (Boltzmann-) Verteilungsfunktiongilt für klassische Teilchen. Die Energie, die in den entsprechenden Gibbs- oder Boltzmann-Faktorenvorkommt, ist allerdings ganz allgemein die Energie eines Quantenzustands eines N-Teilchensystems.Alle Fragen danach, welcher Statistik, wie etwa Bose-Einstein oder Fermi-Dirac, die Teilchen gehorchen,sind bei der Benutzung dieser Verteilungen belanglos, da diese Frage nur mit der ursprünglichen Bestimmungder erlaubten Quantenzustände des Vielteilchensystems zusammenhängt. Welche Änderungendurch die Statistik der Quantenteilchen anzubringen sind, werden wir in den Abschnitten 13.2.3 und13.2.4 diskutieren.Wir wollen in diesem Kapitel wiederum Systeme aus Teilchen betrachten, deren Wechselwirkung vernachlässigbarist, d.h. wir wollen uns mit idealen Gasen beschäftigen. Wir werden aber jetzt diese Systemevollständig aus quantenmechanischer Sicht behandeln. Dies wird uns vor allem erlauben, Problemezu behandeln, bei denen es um Gase bei sehr niedrigen Temperaturen oder sehr hohen Drücken geht(vergleiche Kriterium (12.4.21)). Es wird uns dadurch gleichfalls möglich sein, nichtklassische Gase wiePhotonen oder Leitungselektronen in Metallen zu behandeln.Wir werden in Abschnitt 13.1 zunächst diskutieren, wie sich die statistische Beschreibung eines Gasesaus nicht wechselwirkenden Teilchens ändert, wenn wir von einem klassischen Gas unterscheidbarerTeilchen zu einem quantenmechanischen System ununterscheidbarer Teilchen übergehen. In Abschnitt13.2 werden wir dann die quantenmechanischen Verteilungsfunktionen für Bosonen und Fermionenableiten. Mit Hilfe dieser Verteilungsfunktionen können wir die Besetzungswahrscheinlichkeiteines Quantenzustandes angeben. Wir wissen dann aber immer noch nichts über die Zustandsdichte derEinteilchenzustände, d.h. die Zahl der Zustände pro Energieintervall in dem betrachteten System. Diesewerden wir in Abschnitt 13.3 für ein Gas von Elektronen (Fermionen) und Photonen (Bosonen) ableiten.In Abschnitt 13.4 werden wir zum Abschluss auf ein sehr aktuelles Forschungsgebiet, die Bose-EinsteinKondensation eingehen, für deren Realisierung W. Ketterle, E. A. Cornell und C. A. Wieman im Jahr2001 den Nobelpreis für Physik erhielten. Wir werden sehen, dass aufgrund der unterschiedlichen Quantenstatistikvon Bosonen und Fermionen ein Gas aus völlig wechselwirkungsfreien Bosonen bei sehrtiefen Temperaturen in einen makroskopischen Zustand kondensieren kann, in dem alle Bosonen denGrundzustand einnehmen. Mit Hilfe eines solchen Bose-Einstein Kondensats lassen sich z.B. Atomlaserrealisieren.487