Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 1.2 PHYSIK IV 11Die Phasengeschwindigkeit der Materiewelle hängt also vom Wellenvektor k, d.h. vom Impuls des Teilchensab. Mit der Teilchengeschwindigkeit v T = p/m = ¯hk/m folgt dann 10Materiewellen zeigen Dispersion und ihre Phasengeschwindigkeitv ph = 1 2 v T . (1.2.5)ist gleich der halben Teilchengeschwindigkeit.Wir sehen also, dass die Materiewelle (1.2.1) nur sehr eingeschränkt zur Beschreibung der Teilchenbewegunggeeignet ist, zumal die ebene Welle (1.2.1) sich ja im ganzen Raum ausbreitet. Im Gegensatzdazu ist das Teilchen wenigstens ungefähr an einer Stelle lokalisiert. Diesen Mangel kann man durchEinführung von Wellenpaketen beheben. Wellenpakete wurden bereits in der Physik III eingeführt. Imfolgenden Abschnitt werden die wichtigsten Aspekte kurz rekapituliert.1.2.1 WellenpaketeBei einer Überlagerung von unendlich vielen Wellen, deren Frequenzen ω im Intervall ω = ω 0 ± ∆ωund deren Wellenzahlen im Intervall k = k 0 ± ∆k liegen, erhält manΨ(x,t) =k 0 ∫+∆kk 0 −∆kΨ 0 (k) exp[i(kx − ωt)] dk . (1.2.6)Wenn ∆k ≪ k 0 gilt, kann man die Funktion ω(k) in eine Taylorreiheω(k) = ω 0 +( ) dω· (k − k 0 ) + ... (1.2.7)dkk=k 0entwickeln, deren höhere Glieder vernachlässigt werden können. Wenn sich ferner die Amplitude in demengen Intervall 2∆k nicht ändert, können wir Ψ 0 (k) durch Ψ 0 (k 0 ) ersetzen und erhalten durch Einsetzenvon (1.2.7) in (1.2.6) unter Benutzung der AbkürzungenK = k − k 0und u = x − (dω/dk) k0 tden AusdruckΨ(x,t) = Ψ 0 (k 0 )exp[i(k 0 x − ω 0 t)]+∆k ∫−∆kexp[iuK] dK . (1.2.8)Durch Ausführen der Integration erhält man10 Für den relativistischen Fall erhält man v ph v T = c 2 , siehe hierzu Seite 7.2003