Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

238 R. GROSS Kapitel 7: Mehrelektronenatome7.1 Das HeliumatomDas Heliumatom besteht aus einem Kern mit Kernladungszahl Z = 2 und der Masse m K ≃ 4m H und zweiElektronen. Der Zustand der Elektronen kann durch die WellenfunktionΨ(r 1 ,r 2 )beschrieben werden, die von den Ortskoordinaten der beiden Elektronen abhängt. Da m K > 7300m e , istdie effektive Masseµ = m Km em K + m ein sehr guter Näherung gleich der Elektronenmasse m e . Wir werden deshalb in allen folgenden Gleichungendie Elektronenmasse m e benutzen und sie kurz mit m bezeichnen.Die potentielle Energie der beiden Elektronen, die die Abstände r 1 und r 2 vom Kern und einen gegenseitigenAbstand r 12 = |r 1 − r 2 | haben, beträgtE pot = − e24πε 0( Zr 1+ Z r 2− 1r 12). (7.1.1)Der Operator der kinetischen Energie der beiden Elektronen ist im SchwerpunktssystemÊ kin = − ¯h2 (∇22m 1 (r 1 ) + ∇ 2 2(r 2 ) ) , (7.1.2)wobei der Operator ∇ 2 i auf die Koordinate r i wirkt. Damit erhalten wir die Schrödinger-Gleichung fürdas Heliumatom zu− ¯h22m ∇2 1Ψ(r 1 ,r 2 ) − ¯h22m ∇2 2Ψ(r 1 ,r 2 )−e 24πε 0( Zr 1+ Z r 2− 1r 12)Ψ(r 1 ,r 2 ) = EΨ(r 1 ,r 2 ) . (7.1.3)Der Terme24πε 0 r 12in der potentiellen Energie bewirkt, dass das Potenzial nicht mehr kugelsymmetrisch ist,sondern vom Winkel α zwischen den Radiusvektoren der beiden Elektronen abhängt (siehe Abb. 7.1).Es giltc○Walther-Meißner-Institut