Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 11.3 PHYSIK IV 417Dabei bezeichnet µ σ s = ±µ B das Moment am Ort s im Zustand σ. Da µ σ s in der Summation über dieZustände genauso oft positiv wie negativ auftritt, ist das magnetische Moment an einem Ort s der Spin-Kette über alle Zustände gemittelt gleich Null, d.h. 〈µ s 〉 = 0.Wir betrachten nun den Mittelwert des Quadrats der Magnetisierung:〈M2 〉 =〈( N∑s=1µ s) 2 〉=NN∑ ∑r=1 s=1〈µ r µ s 〉 . (11.3.12)Hierbei laufen r und s unabhängig voneinander von 1 bis N.In der Doppelsumme treten Terme auf, für die r = s. Der Beitrag dieser Term zu 〈M 2 〉 ist〈µ r µ s 〉 = 〈 µ 2 r〉 1 [= (+µB ) 2 + (−µ B ) 2] = µ B 2 . (11.3.13)2Für r ≠ s ist 〈µ r µ s 〉 = 0, was sich anhand des Beispiels N = 2 noch anschaulich zeigen lässt:〈µ 1 µ 2 〉 = 1 4 [(+µ B)(+µ B ) + (+µ B )(−µ B ) + (−µ B )(+µ B ) + (−µ B )(−µ B )]= 0 . (11.3.14)Wir erhalten daher insgesamt〈M2 〉 = N µ 2 B . (11.3.15)Der quadratische Mittelwert ist als 〈 M 2〉 1/2 definiert und wird üblicherweise als Mrms bezeichnet. Es giltalsoM rms = √ N µ B . (11.3.16)Wie wir aus der Statistik wissen, stellt M rms ein Maß für die Breite der Verteilung um den Mittelwertdar. In der Physik spricht man auch von Fluktuation, insbesondere wenn die Mittelung über die Zuständedadurch zustande kommt, dass diese vom System in zeitlicher Abfolge durchlaufen werden. Vergleichenwir die Fluktuation der Magnetisierung mit deren Maximalwert, so ergibt sichM rmsM max=√N µBN µ B= 1 √N. (11.3.17)2003