Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

480 R. GROSS Kapitel 12: Verteilungsfunktionenwobei C eine Proportionalitätskonstante ist. Dies bedeutet, dass die Impulsverteilung und somit die Geschwindigkeitsverteilungdie gleiche ist wie ohne Schwerefeld.Wir wollen jetzt die Wahrscheinlichkeit p(z)dz dafür angeben, ein Teilchen in einer Höhe zwischen zund z + dz anzutreffen und zwar unabhängig von seinem Impuls und seiner x- oder y-Koordinate. DurchIntegration von (12.5.26) erhalten wirp(z)dz =∫ ∫x,yp x ,p y ,p zp(r,p)dxdy d p x d p y d p z , (12.5.28)wobei sich die Ortsintegration nur über die x- und y-Koordinaten innerhalb des Behälter erstreckt. Da(12.5.26) in zwei Faktoren zerfällt, erhalten wirp(z)dz = C ′ e −βmgz dz . (12.5.29)Für einen Behälter mit einer konstanten Querschnittsfläche ist C ′ eine Konstante und wir erhaltenp(z) = p(0) e −βmgz . (12.5.30)Die Wahrscheinlichkeit, ein Gasteilchen in der Höhe z anzutreffen, nimmt also exponentiell mit z ab.Dieses Ergebnis wird als barometrische Höhenformel bezeichnet. Sie beschreibt die Abhängigkeit derLuftdichte von der Höhe über der Erdoberfläche bei konstanter Temperatur.12.5.4 Vertiefungsthema:ThermalisierungWir betrachten zwei Systeme aus unterschiedlichen Gasteilchen a und b, die sich jeweils im Gleichgewichtszustandbei unterschiedlichen Temperaturen befinden. Wir vereinigen nun beide Systeme, wodurchdie Gasteilchen Stöße miteinander ausführen können. Wir wollen nach vielen Stößen, die zu einerThermalisierung der beiden Gasteilchensorten führen, die mittlere Energie u pro Gasteilchen berechnen.Die Wechselwirkung zwischen den Gasteilchen soll durch elastische Stöße erfolgen. Im Schwerpunktsystemist die Geschwindigkeit der Teilchenv s a = v a − v s und v s b = v b − v s (12.5.31)v s = m av a + m b v bm a + m b, (12.5.32)wobei v s die Geschwindigkeit des Schwerpunkts der beiden Teilchen ist. Für den elastischen Stoß giltc○Walther-Meißner-Institut