Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

546 R. GROSS Anhang DDVertauschungsrelationen der DrehimpulskomponentenWir wollen den Kommutator [̂L x ,̂L y ] der Drehimpulsoperatoren (3.3.37) bis (3.3.39) bestimmt werden.Nach Definition (1.3.59) gilt[̂L x ,̂L y ] = −[̂L y ,̂L x ] = ̂L x̂L y − ̂L ŷL x (D.1)und damit unter Benutzung von (3.3.37) bis (3.3.39)[̂L x ,̂L y ] = ̂L x (ẑ̂p x − ̂x̂p z ) − (ẑ̂p x − ̂x̂p z )̂L x (D.2)Für einen beliebigen Operator Â, der eine Funktion der Impulsoperatoren ̂p i und der Ortsoperatoren ̂q iist, können wir schreiben:̂p i Â(̂p i , ̂q i ) Ψ = −i¯h ∂∂q iÂ(̂p i , ̂q i )Ψ = −i¯h ∂Â∂q iΨ + Â(̂p i , ̂q i )(−i¯h) ∂∂q iΨ .(D.3)Mit der Definition des Kommutator folgt daraus∂Â= ∂Â∂q i ∂ ̂q i= ī h(̂p i  − Â̂p i)= ī h [̂p i,Â] . (D.4)Analog gilt∂Â= ī (Â̂qi − ̂q i Â)∂ ̂p i h= ī h [Â, ̂q i ] . (D.5)Da ̂p x nicht von ẑ und ̂L x weder von ̂x noch von ̂p x abhängt, folgt mit (D.4) und (D.5)̂p x ẑ − ẑ̂p x = 0 ̂L x ̂p x − ̂p x̂L x = 0 ̂L x̂x − ̂x̂L x = 0 (D.6)und damit für (D.2)[̂L x ,̂L y ] = ̂p x(̂L x ẑ − ẑ̂L x)− x(̂L x ̂p z − ̂p ẑL x)̂L x (D.7)c○Walther-Meißner-Institut