Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 13.2 PHYSIK IV 497f(ε)1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.1µ /k BT=10µ /k bT = 2000.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4ε / µAbbildung 13.3: Grafische Darstellung der Fermi-Dirac Verteilungsfunktion in Abhängigkeit der reduziertenEnergie ε/µ für µ/k B T = 10 und 200. Für Metalle ist µ ∼ 5eV ∼ 50 000 K, so dass µ/k B T = 200 etwaden Verhältnissen bei Raumtemperatur entspricht. Erwärmt man das System, so werden die Zustandein den farbig markierten Bereichen von ε/µ < 1 nach ε/µ > 1 umverlagert.µ(T = 0) = µ(0) ≡ ε F . Fermi-Energie (13.2.22)Das chemische Potenzial wird durch die Gesamtteilchenzahl N des betrachteten Gesamtsystems festgelegt.Es muss nämlich gelten∑〈n k 〉 = ∑ f (ε k ) = N . (13.2.23)kkIst die Teilchendichte in einem System hoch, so müssen aufgrund des Pauli-Prinzips die Einteilchenzuständeε k bis zu hohen Energie besetzt werden, um alle Teilchen unterzubringen. Dies führt zu großenWerten des chemischen Potenzials. Um genaue Aussagen über die Größe des chemischen Potenzialsmachen zu können, müssen wir noch wissen, wie viele Einteilchenzustände es pro Energieintervall gibt,das heißt, wir müssen die Zustandsdichte des Systems kennen. Diese werden wir im Abschnitt 13.3 z.B.für Metalle ableiten. Für Metalle (Elektronengas) beträgt µ typischerweise einige eV, was Temperaturenvon mehreren 10 000 K entspricht. 2 Wir weisen an dieser Stelle auch darauf hin, dass die Wahl desNullpunktes der Energie ε k natürlich willkürlich ist. Die spezielle Wahl, die wir bei einem bestimmtenProblem treffen, wirkt sich aufgrund der Bedingung (13.2.23) auf den Wert des chemischen Potenzialsaus. Der Wert der Differenz ε k − µ ist unabhängig von der Wahl des Nullpunktes von ε k .2 1 eV entspricht 11 590 K, bzw. 1 K entspricht 8.625 × 10 −5 eV.2003