Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.4 PHYSIK IV 129Φ(r,σ,t) =(Ψ↑0) ( ) 0+Ψ ↓= Ψ ↑( 10)+ Ψ ↓( 01= Ψ ↑ (r,t) τ ↑ (σ) + Ψ ↓ (r,t) τ ↓ (σ) (3.4.11))überzuführen. Der gesamte Zustandsraum des Elektrons ist also der direkte Produktraum aus Spin- undOrtsfunktion (vergleiche hierzu auch Abschnitt 1.6).Wir wollen uns jetzt die Bedingungen überlegen, denen der Spin-Operator Ŝ genügen muss. Wir wissen,dass die Eigenwertgleichung Ŝ z Φ = S z Φ die beiden Eigenwerte ±¯h/2 besitzt. Beachten wir ferner, dasswir Ψ ↑ den Eigenwert +¯h/2 und Ψ ↓ den Eigenwert −¯h/2 zugeordnet haben, so giltŜ z Φ = S z(Ψ↑Ψ ↓)= ¯h 2(Ψ↑−Ψ ↓). (3.4.12)Die Anwendung von Ŝ z auf den Spinor Φ bedeutet also die Multiplikation seiner ersten Zeile mit ¯h/2und seiner zweiten Zeile mit −¯h/2.Zu einer vollständigen Beschreibung des physikalischen Spins in dem durch Ψ ↑ und Ψ ↓ aufgespanntenRaum benötigen wir den Spin-Operator in dieser Darstellung. Bei dessen Aufindung hilft uns dieTatsache, dass die Vertauschungsrelationen für Drehimpulsoperatoren (vergleiche (3.3.52)Ŝ × Ŝ = i¯hŜ (3.4.13)erfüllt sein müssen. Eine mögliche Lösung des Problems lautetŜ z = ¯h 2( 1 00 −1)Ŝ x = ¯h 2( 0 11 0)Ŝ y = ¯h 2( 0 −ii 0), (3.4.14)wie leicht explizit durch Matrizenmultiplikation verifiziert werden kann. Obige Matrizen werden alsPauli-Matrizen des Spins bezeichnet. WegenŜ 2 = Ŝ 2 x + Ŝ 2 y + Ŝ 2 z = 3 4 ¯h2 ( 1 00 1)(3.4.15)sind sowohl Ψ ↑ als auch Ψ ↓ Eigenfunktionen von Ŝ 2 mit dem Eigenwert 3 4 ¯h2 . Sie sind jedoch keineEigenfunktionen von Ŝ x und Ŝ y , was unmittelbar in dem nicht diagonalen Charakter der entsprechendenPauli-Matrizen zum Ausdruck kommt.2003