Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 1.3 PHYSIK IV 39Wir sehen, dass nur der Kommutator vertauschbarer Operatoren verschwindet.Wir wollen nun zwei Operatoren  und ̂B betrachten, die das gleiche System von Eigenfunktionen Ψ kbesitzen. Es gilt dannÂΨ k = A k Ψ k̂BΨ k = B k Ψ k . (1.3.60)Durch nochmalige Anwendung von  und ̂B erhalten wir̂BÂΨ k = ̂BA k Ψ k = A k ̂BΨ k = A k B k Ψ k (1.3.61) ̂BΨ k = ÂB k Ψ k = B k ÂΨ k = B k A k Ψ k , (1.3.62)woraus wir durch Subtraktion der beiden Gleichungen( ̂B − ̂BÂ)Ψ k = [Â, ̂B]Ψ k = 0 (1.3.63)erhalten. Hierbei haben wir ausgenutzt, dass A k und B k reelle Zahlen sind und deshalb A k B k = B k A k gilt.Da diese Beziehung für alle Ψ k gilt, folgt insgesamt( ̂B − ̂BÂ) = [Â, ̂B] = 0 . (1.3.64)Auch die Umkehrung dieses Satzes kann bewiesen werden und wir können festhalten:Zwei Observable besitzen das gleiche System von Eigenfunktionen, wenn die ihnenzugeordneten Operatoren vertauschbar sind. Die Observablen sind dann gleichzeitigscharf messbar.Wir wollen für die zugehörigen Observablen eine besondere Bezeichnung einführen:Die zwei vertauschbaren (nichtvertauschbaren) Operatoren zugeordneten Observablenbezeichnen wir als verträgliche (nichtverträgliche) Observable.Wir wollen hier ferner ohne Beweis folgende Tatsache festhalten: 23Verträgliche Observable sind mit beliebiger Genauigkeit gleichzeitig messbar.Nichtverträgliche Observable sind gleichzeitig nicht mit beliebiger Genauigkeit messbar.Die untere Grenze wird durch die Heisenbergsche Unschärferelationgegeben.∆A∆B ≥ 1 2 |〈[Â, ̂B]〉|23 Der Beweis für diese Aussage kann in den Lehrbüchern zur Quantenmechanik gefunden werden.2003