Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

40 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die QuantenphysikFür die Ortsoperatoren ̂q i und die Impulsoperatoren ̂p i gelten die Vertauschungsrelationen 24̂p îq k − ̂q k ̂p i ={−i¯hfür i = k0 für i ≠ k(1.3.65)̂p i ̂p k − ̂p k ̂p i = 0 (1.3.66)̂q îq k − ̂q k̂q i = 0 (1.3.67)Es lässt sich ferner zeigen, dass der Impulsoperator und der Hamilton-Operator vertauschbar sind.Es kann ebenfalls gezeigt werden (siehe Abschnitt 3.3.4), dass für kugelsymmetrische Probleme derHamilton-Operator mit ˆL 2 und ˆL z vertauscht, d.h. [Ĥ, ˆL z ] = 0 und [Ĥ, ˆL 2 ] = 0.1.3.8 AnwendungenWir haben bisher die wesentlichen Gedankengänge der Quantenmechanik erörtert. Der einzige Beweisfür die Richtigkeit der gemachten Aussagen ist der Vergleich der aus der Quantenmechanik gefolgertenGesetzmäßigkeiten mit den experimentellen Befunden. Bisher gibt es kein Experiment, dass dieGültigkeit der Quantenmechanik in Zweifel gezogen hätte.Die Übereinstimmung von theoretischen Vorhersagen und experimentellen Befunden kann explizit anBeispielen nachvollzogen werden. Einfache Beispiele wie das freie Teilchen, das Teilchen im eindimensionalenPotenzialtopf, der lineare harmonische Oszillator oder das Tunneln durch eine Potenzialschwellewurden bereits im Rahmen der Physik III diskutiert und sollen deshalb hier nicht mehr wiederholtwerden.24 Mit ̂p i = −i¯h ∂ erhalten wir∂q iund damit̂p i Â Ψ = −i¯h ∂Â∂q iΨ + Â(−i¯h) ∂Ψ∂q i∂Â∂q i= ī h (̂p i − Â̂p i ) = ī h [̂p i,Â].Setzen wir für den beliebigen Operator  den Ortsoperator ̂q j ein, so erhalten wir∂ ̂q j∂q i= ī h [̂p i, ̂q j ].Für i = j erhalten wir ∂ ̂q i∂q i= 1 und damitFür i ≠ j wird ∂ ̂q i= 0 und damit∂q j[̂p i , ̂q i ] = −i¯h.[̂p i , ̂q j ] = 0.c○Walther-Meißner-Institut