Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.3 PHYSIK IV 97zϑrxϕyAbbildung 3.6: Zur Definition der Kugelkoordinaten (r,ϑ,ϕ).Für den ∇ 2 -Operator erhält man in Kugelkoordinaten∇ 2 = 1 (∂r 2 r 2 ∂ )+ 1 (∂∂r ∂r r 2 sinϑ ∂ )+sinϑ ∂ϑ ∂ϑ1r 2 sin 2 ϑ∂ 2∂ϕ 2 (3.3.12)und damit für die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten(1 ∂r 2 r 2 ∂Ψ )+ 1 (∂∂r ∂r r 2 sinϑ ∂Ψ )1 ∂ 2 Ψ+sinϑ ∂ϑ ∂ϑ r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2 + 2µ [E −V (r)]Ψ = 0 (3.3.13)2¯hFür das Potenzial (wir wählen als Beispiel das Coulomb-Potenzial) kann geschrieben werden:V (r) = − Ze24πε 0 r . (3.3.14)Die Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung lautet somit(1 ∂r 2 r 2 ∂Ψ )+ 1∂r ∂r r 2 sinϑ(∂sinϑ ∂Ψ )+∂ϑ ∂ϑ1 ∂ 2 Ψr 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2 +2µ¯h 2 [E + Ze24πε 0 r]Ψ = 0 . (3.3.15)Wir sehen, dass in dieser Gleichung nur Differentialquotienten nach r,ϑ oder ϕ auftreten. Es liegt deshalbnahe, für Ψ(r,ϑ,ϕ) einen LösungsansatzΨ(r,ϑ,ϕ) = R(r) · θ(ϑ) · φ(ϕ) . (3.3.16)2003