Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.3 PHYSIK IV 117n l Bezeichnung Schale R n,l (r)1 0 1s K 2N e −x2 0 2s L 2N e −x (1 − x)1 2p √3 2N e −x x3 0 3s M 2N e −x (1 − 2x + 2x23 )21 3p 3√2N e −x x(2 − x)42 3d3 √ N 10 e−x x 24 0 4s N 2N√e −x (1 − 3x + 2x 2 − x351 4p 23 N e−x x(1 − x + x2√5 )12 4d 25 N e−x x 2 (1 − x 3 )23 4f3 √ N 35 e−x x 33 )Tabelle 3.4: Die normierten radialen Eigenfunktionen R n,l (r) (Laguerre-Polynome) für ein Elektron imCoulomb-Potenzial. Abkürzungen: N = (Z/na B ) 3/2 , x = Zr/na B , a B = 4πε 0¯h 2 /µe 2 .Verwendet man statt der reduzierten Masse µ die Elektronenmasse m e , so lautet der Ausdruck für dieRydberg-Energie (vergleiche hierzu (3.2.9))E ∞ = hcR ∞ =m e e 4(4πε 0 ) 2 2¯h 2 = ¯h22m e a 2 B, (3.3.84)wobei wir den Bohrschen Radius a B = 4πε 0¯h 2 /m e e 2 verwendet haben.Aufgrund der Mitbewegung des Kerns weichen E H und E ∞ in der vierten Stelle voneinander ab. Abgesehenvon dieser kleinen Abweichung erhalten wir also das folgende wichtige Ergebnis:Die quantenmechanische Berechnung des Einelektronensystems mit Hilfe der stationärenSchrödinger-Gleichung ergibt die gleichen Energiewerte wie das BohrscheAtommodell.Wir werden später allerdings sehen, dass bei sehr guter spektraler Auflösung die Energiezustände desWasserstoffs (als Prototyp des Einelektronensystems) eine Unterstruktur (Feinstruktur) besitzen.Aus der oberen Grenze j < n für den Summationsindex j in (3.3.78) folgt auch eine Begrenzung für dieBahndrehimpulsquantenzahl l, die aufgrund unserer bisherigen Diskussion beliebige ganzzahlige Wertel = 0,1,2,... annehmen könnte. Für die erlaubten Werte j < n würde jedoch der Nenner in (3.3.79) fürj = l Null werden und damit der Koeffizient b j = ∞. Daraus folgt, dass in (3.3.79) alle Glieder b j mitj < l Null sein müssen, damit die Funktion c(r) endlich bleibt.Der Koeffizient b j=l kann gemäß (3.3.79) endlich bleiben, weil b j−1 = 0. Wir erhalten somit insgesamtdie Bedingungn − 1 ≥ j ≥ l . (3.3.85)Demzufolge ist2003