Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

144 R. GROSS Kapitel 4: Das Wasserstoffatomnl0 1 2 31 1s 1/22 2s 1/2 2p 1/2 2p 3/23 3s 1/2 3p 1/2 3p 3/2 3d 3/2 3d 5/24 4s 1/2 4p 1/2 4p 3/2 4d 3/2 4d 5/2 4 f 5/2 4 f 7/2Tabelle 4.1: Elektronenzustände im Wasserstoffatom unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung.gilt, ist nur m s = ±1/2 möglich. Die daraus resultierende vektorielle Kopplung der Drehimpulse ist inAbb. 4.3 veranschaulicht. Es folgt, dass die Gesamtdrehimpulsquantenzahl j nur die Wertej = l + 1 2und j = l − 1 2(4.3.17)annehmen kann. 6Durch Quadrieren von (4.3.11) erhalten wir die Relation〈S · L〉 = 1 2 〈[ J 2 − L 2 − S 2] 〉= 1 2 ¯h2 [ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] . (4.3.18)Damit lässt sich Gleichung (4.3.6) schreiben alsE n,l, j = E n + λ LS2[ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] (4.3.19)mit der Spin-Bahn-Kopplungskonstanteλ LS = µ 0Ze 2¯h 28πm 2 er 3 . (4.3.20)Die Energiewerte E n,l spalten damit je nach Spinstellung in die beiden Komponenten mit j = l +1/2 undj = l −1/2 auf. Zum Beispiel ergibt für l = 1 die eckige Klammer in (4.3.19) für j = 3/2 den Wert 1, fürj = 1/2 dagegen den Wert -2. Der 3p 3/2 -Zustand ist dadurch um λ LS /2 nach oben, der 2p 1/2 -Zustandum −λ LS nach unten verschoben.6 Aus dem Vektormodell können wir zunächst nur folgern, dass |L| − |S| ≤ |J| ≤ |L| + |S|. Setzen wir |S| = ¯h √ s(s + 1) und|L| = ¯h √ l(l + 1) explizit ein, so sehen wir, dass nur mit den Werten aus (4.3.17) der Gesamtdrehmipuls |J| eine Darstellung¯h √ j( j + 1) mit ganzzahligem j besitzt.c○Walther-Meißner-Institut