Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

428 R. GROSS Kapitel 11: Statistische Beschreibungm 2 = 2 m 2 = 0m 2 = - 2Abbildung 11.13: Zwei Spinsysteme mit (N 1 = 4,M = 0) und (N 2 = 2,M = 2µ B ) werden in thermischenKontakt gebracht. Die Spalte links zeigt alle 6 möglichen Quantenzustände vor dem Relaxationsprozess.Durch den thermischen Kontakt kommen neun weitere mögliche Quantenzustände hinzu. Der Gesamtzustand(N = 6,M = 2µ B ) ist also 15-fach entartet. Dabei tragen die Quantenzustände mit M 2 = 0 (d.h.M 1 = 2µ B ) am meisten zur Entartung bei. Sie stellen somit den maximalen nach M 1 charakterisiertenUnterraum dar. M 1 = −4µ B enthält nur einen Quantenzustand und ist damit der minimale nach M 1 charakterisierteUnterraum.der höchsten Mächtigkeit als Sieger aus dem Relaxationsprozess hervor. Dabei sind wir hier an den Unterräumenvon Quantenzuständen interessiert, die einen festen Spinüberhang 2m 1 im System 1 und damit2m 2 = 2(m − m 1 ) im System 2 aufweisen. Wir wollen den Spinüberhang im System 1 dieses “maximalen”Unterraums mit ˜m 1 bezeichnen. 19 Damit istg(N 1 ,N 2 ,m, ˜m 1 ) = g 1 (N 1 , ˜m 1 ) · g 2 (N 2 ,m − ˜m 1 ) (11.5.6)der größte Summand, der in (11.5.4) auftritt. Es wird sich herausstellen, dass bei großen Systemen dieserSummand die Summe (11.5.4) dominiert.Es ist mit Hilfe der Kombinatorik möglich, das Maximum der Funktion g(N 1 ,N 2 ,m,m 1 ) zu bestimmen.In Abb. 11.13 ist dies am Beispiel zweier kleiner Spinsysteme gezeigt. Da wir aber in der Physik nurgekoppelte Systeme betrachten wollen, von denen zumindest eines sehr groß ist — dieses wird dannals Reservoir bezeichnet (siehe hierzu Abb. 11.12) — ist diese kombinatorische Lösungsmethode sehrschwerfällig. In diesen Fällen können wir für unser Spin-Modell die Näherung (11.3.19) bzw. (11.3.22)19 Wir stellen einmal mehr die Bedeutung der Einteilung in Klassen fest. Im vorliegenden Fall werden Quantenzuständenach ihrer Magnetisierung in den beiden Teilsystemen klassifiziert. Das Problem ist also zuerst algebraisch. Im zweiten Schrittmüssen dann die Mächtigkeiten der Klassen errechnet werden. Hier kommt die Arithmetik und insbesondere die Kombinatorikins Spiel.c○Walther-Meißner-Institut