Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

470 R. GROSS Kapitel 12: Verteilungsfunktionen〈ε i 〉 ==∞∫−∞∞∫−∞∞∫−∞∞∫−∞ε i e −β(ε i+ε ′) dq 1 ···d p ne −β(ε i+ε ′) dq 1 ···d p nε i e −βε id p ie −βε i d p i∞∫−∞∞∫−∞e −βε′ dq 1 ···d p ne −βε′ dq 1 ···d p n. (12.4.26)Das letzte Integral im Zähler und Nenner erstreckt sich über alle q und alle p mit Ausnahme von p i . Dadieses Integral für Zähler und Nenner gleich ist, fällt es heraus und wir erhalten〈ε i 〉 =∞∫−∞∞∫−∞ε i e −βε id p ie −βε i d p i. (12.4.27)Dieser Ausdruck kann weiter vereinfacht werden:〈ε i 〉 =( ∞∫− ∂∂β−∞∞∫−∞e −βε id p i)e −βε i d p i⎛= − ∂ ∫ ∞∂β ln ⎝−∞e −βε id p i⎞⎠ . (12.4.28)Bis hierher haben wir nur von der Voraussetzung (12.4.23) Gebrauch gemacht. Wir wollen jetzt auch diezweite Voraussetzung (12.4.24) benutzen und mit dieser das Integral (12.4.28) berechnen. Es gilt dann∫ ∞e −βε id p i =∫ ∞e −β·const·p2 i d p i = √ 1β∫∞e −const·y2 dy , (12.4.29)−∞−∞−∞wobei wir die Variable y = √ β p i eingeführt haben. Somit ist⎛ln⎝∫ ∞−∞⎞e −βε id p i⎠ = − 1 ∫∞2 lnβ + ln−∞e −const·y2 dy . (12.4.30)In dem Integral auf der rechten Seite tritt jetzt β gar nicht mehr auf, so dass wirc○Walther-Meißner-Institut