Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

176 R. GROSS Kapitel 4: Das Wasserstoffatom4.9 Vollständiges Termschema des WasserstoffatomsWir haben in den vorangegangenen Abschnitten gesehen, dass das Termschema des Wasserstoffatomsdoch wesentlich komplizierter ist, als wir ursprünglich aufgrund des Bohrschen Atommodells angenommenhatten. Wir wollen in diesem Abschnitt die in den vorangegangenen Abschnitten diskutierten Effektezusammenfassen und das vollständige Termschema des Wasserstoff zusammenstellen.Ausgangspunkt war die Lösung der Schrödiger-Gleichung für das kugelsymmetrische Coulomb-Potenzial. Ohne Berücksichtigung des Spins haben wir für jede Hauptquantenzahl n insgesamt n 2verschiedene Wellenfunktionen erhalten, die für jeden Energieeigenwert E n genau n 2 verschiedeneräumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für ein Elektron ergaben. Jede dieser WellenfunktionenΨ n,l,m (r,ϑ,ϕ) = R(r)Y ml (ϑ,ϕ)wird eindeutig durch die Hauptquantenzahl n, die Bahndrehimpulsquantenzahl l und die Orientierungsquantenzahlm charakterisiert.Durch Einführen des Spins haben wir die GesamtwellenfunktionΦ(r,m s ) = Ψ n,l,m (r) · τ ms (4.9.1)erhalten, die als weitere Quantenzahl die Spinorientierungsquantenzahl m s enthält. Diese kann für eineinzelnes Elektron genau die zwei Werte ±1/2 annehmen. Wir haben die Zustände auch mit | ↑〉 und| ↓〉 charakterisiert. Die Zahl der Zustände für eine Hauptquantenzahl n hat sich dadurch auf 2n 2 erhöht.Wir haben insgesamt gesehen, dass zu jedem Elektronenzustand, der eindeutig durch die Quantenzahlenn,l,m,m s charakterisiert ist, genau eine Wellenfunktion (4.9.1) gehört.Durch Kopplung des Bahndrehimpulses L und des Spins S des Elektrons zum Gesamtdrehimpuls J desElektrons sind die Quantenzahlen m und m s keine guten Quantenzahlen mehr und müssen durch j undm j ersetzt werden. Die Zahl der Zustände pro Hauptquantenzahl bleibt dadurch unverändert. Durch dieKopplung des Gesamtdrehimpulses J des Elektrons mit dem Kernspin I zu dem Gesamtdrehimpuls F desAtoms sind wiederum die Quantenzahlen j und m j keine guten Quantenzahlen mehr und müssen durchf und m f ersetzt werden.Wir haben gesehen, dass ohne Berücksichtigung des Kernspins und der Lamb-Verschiebung beim Wasserstofatomalle Niveaus mit gleichen Quantenzahlen (n, j) entartet sind, da sich die Termverschiebungenfür gleiche j aber unterschiedliche l infolge der relativistischen Massenzunahme und der Spin-Bahn-Kopplung gerade kompensieren. Diese Entartung wird durch die Hyperfeinwechselwirkung aufgehoben,weil die Hyperfeinwechselwirkungskonstante A von der räumlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung derElektronen und damit von der Bahndrehimpulsquantenzahl l abhängt.In einem äußeren Feld spaltet jeder Atomzustand (n,l, j,m j ) ohne Berücksichtigung des Kernspins in2 j + 1 Zeeman-Komponenten auf, deren Abstand vom Landé-Faktor g j abhängt und deshalb im allgemeinenfür die verschiedenen Zustände (n,l, j,m j ) unterschiedlich ist.Berücksichtigen wir den Kernspin, so muss die Kopplung des Gesamtdrehimpulses J des Elektrons mitdem Kernspin I zum Gesamtdrehimpuls F des Atoms berücksichtigt werden. Wir müssen dann zur Beschreibungder Zustände die neuen Quantenzahlen (n,l, f ,m f ) benutzen. In einem äußeren Feld erhaltenc○Walther-Meißner-Institut