Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 13.3 PHYSIK IV 507∑k1〈n k 〉 = ∑e (ε k−µ)/k B T + 1 = N (13.3.17)koder in integraler Schreibweise∫ ∞0D(ε) f (ε,T )dε = N . (13.3.18)Aus dieser Bedingung erhält man das chemische Potenzial µ, das nach (13.3.17) und (13.3.18) vonder Temperatur abhängt. Beim freien Elektronengas verwendet man die Fermi-Energie, die wie folgtdefiniert ist:ε F ≡ µ(T = 0) . (13.3.19)In einem Fermionengas aus N Teilchen sind bei T = 0 die ersten N erlaubten Zustände alle besetzt,darüber sind alle Zustände unbesetzt. Die Energie des letzten besetzten Zustands ist die Fermi-Energie.Da N > 0 ist auch µ(0) = ε F > 0.Wir wollen nun die Fermi-Energie des freien Elektronengases berechnen. Da bei T = 0 alle Zustände biszur Fermi-Energie ε F besetzt sind, können wir mit dieser Energie den Fermi-Wellenvektork F =√ 2mεF¯h(13.3.20)assoziieren. Somit sind bei T = 0 alle Zustände mit k ≤ k F besetzt. Diese Zustände liegen im k-Raum innerhalbder so genannten Fermi-Kugel mit Volumen 4 3 πk3 F . Mit der Zustandsdichte im k-Raum (13.3.10)enthält die Fermi-Kugel genau (V /8π 3 )( 4 3 πk3 F ) Zustände. Wir müssen jetzt noch berücksichtigen, dassjeder Zustand mit zwei Spinrichtungen besetzt werden kann. Da die Gesamtzahl der Zustände innerhalbder Fermi-Kugel gleich N sein muss, erhalten wir2 V ( ) 4(2π) 3 3 πk3 F= N (13.3.21)und damit den Fermi-Wellenvektor und die Fermi-Energie2003