Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

24 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die QuantenphysikDifferenziert man (1.3.1) partiell nach der Zeit, so erhält mani¯h ∂ ∂t Ψ(r,t) = E kin Ψ(r,t) , (1.3.7)woraus wir mit (1.3.5) die zeitabhängige Gleichungi¯h ∂ ∂tΨ(r,t) = − ¯h22m ∇2 Ψ(r,t) (1.3.8)erhalten. Für nichtstationäre Probleme (d.h. E kin = E kin (t) und p = p(t)) lässt sich ∂ 2 Ψ/∂t 2 nicht mehrals −ω 2 Ψ schreiben und damit aus der Wellengleichung für die Materiewellen für Teilchen herleiten.Schrödinger postulierte nun, dass auch bei einer zeitabhängigen potentiellen Energie die Gleichungi¯h ∂ ()∂t Ψ(r,t) = − ¯h22m ∇2 + E pot (r,t) Ψ(r,t) (1.3.9)gelten soll. Diese allgemeine zeitabhängige Schrödinger-Gleichung wurde von Schrödinger erstmals1926 angegeben (siehe hierzu auch Physik III). Sie ist mittlerweile durch unzählige Experimente bestätigtworden und stellt die Grundgleichung der Quantenmechanik dar.Es sei hier auf einige wichtige Sachverhalte hingewiesen:• Erstens ist festzuhalten, dass die Schrödinger-Gleichung eine Differenzialgleichung erster Ordnungin der Zeit und zweiter Ordnung im Ort ist. Ort und Zeit werden deshalb nicht gleichwertigbehandelt. Sie kann daher nicht relativistisch invariant sein. Dies verwundert uns nicht, basiertedoch unsere Motivation der Schrödinger-Gleichung auf der nicht-relativistischen Energie-ImpulsBeziehung E = p 2 /2m. Relativistische Verallgemeinerungen der Schrödinger-Gleichung wurdenrelativ früh vorgeschlagen. Dabei boten sich zwei Wege an. Es galt entweder eine Gleichung zu finden,die nur zweite Ableitungen enthält (Klein-Gordon-Gleichung), oder aber eine Gleichung diesich auch beim Ort mit den ersten Abbleitungen begnügt (Dirac-Gleichung). Beide Wege habenphysikalisch ihre Berechtigung und führen auf Wellengleichungen für Bosonen und Fermionen.Diese Gleichungen, die übrigens automatisch die Antiteilchen sowie den Spin implizieren, sollenhier nicht diskutiert werden (üblicherweise werden diese Gleichungen in den Theorievorlesungenzur Quantenmechanik diskutiert).• Ein zweiter wichtiger Punkt ist, dass die Schrödinger-Gleichung die Masse als Parameter enthält.Sie bezieht sich daher auf ein System, in dem die Teilchenzahl erhalten ist.• Drittens enthält die Schrödinger-Gleichung explizit die Größe ¯h. Dies ist bei der Wellengleichungdes elektromagnetischen Feldes nicht der Fall (vergleiche (1.1.1)).• Im Unterschied zur linearen Dispersionsrelation ω(k) = ck elektromagnetischer Wellen gilt fürMateriewellen wegen E = ¯hω = p 2 /2m und p = ¯hk eine quadratische Dispersionsrelation ω(k) =(¯h/2m) · k 2 .c○Walther-Meißner-Institut