Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

316 R. GROSS Kapitel 9: Moleküle9.1 Das Einelektronen-Molekül — H + 2 -Molekülion9.1.1 Die Schrödinger-Gleichung des EinelektronenmolekülsDas H + 2-Molekülion ist das einfachste aller Moleküle (siehe Abb. 9.3). Das Wechselwirkungspotenzialzwischen den 3 Teilchen ist(E pot = − e2 1+ 1 − 1 )4πε 0 r A r B R. (9.1.1)Legen wird den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt S der Atomkerne, 4 so erhalten wir mit denBezeichnungen aus Abb. 9.3:r = R A + r A = R B + r Bund damit r = 1 2 (r A + r B ) weil R A = −R Br A = r + 1 2 R r B = r − 1 2 R . (9.1.2)yre -r Ar BAxBR A R Be + Se +RzAbbildung 9.3: Zur Definition der Größen beim H + 2 -Molekülion.Die Schrödinger-Gleichung für das Dreiteilchenproblem lautet dann:][− ¯h22M (∇2 A(R A ) + ∇ 2 B(R B )) − ¯h22m ∇2 e(r) + E pot (r,R) Ψ(r,R i ) = E Ψ(r,R i ) .(9.1.3)Hierbei ist M die Protonenmasse und m die Elektronenmasse. Die ersten beiden Terme in den eckigenKlammern geben die kinetische Energie der Kerne, der dritte Term diejenige des Elektrons an.4 Das Elektron verschiebt den Schwerpunkt aufgrund seiner wesentlich kleineren Masse nur unwesentlich.c○Walther-Meißner-Institut