Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.2 PHYSIK IV 91wobei1E n = −E ∞ , (erlaubte Energiezustände) (3.2.8)n2 R ∞ = E ∞hcE ∞ =e 4 m e(4πε 0 ) 2 2¯h 2 = ¯h22m e a 2 B= 13.605 691 72(53) eV (3.2.9)= e4 m e8ε0 2h3 c = ¯h4πc m e a 2 B= 10 973 731.568 549(83) 1/m (3.2.10)die universelle Rydberg-Energie bzw. die universelle Rydberg-Konstante sind. Die Energie E ∞ ist die sichfür n = 1 ergebende Bindungsenergie (vergleiche Abb. 3.3). Die Energiezustände haben als gebundeneZustände negative Energie. Ein Elektron mit E > 0 ist nicht mehr an den Kern gebunden, es ist ein freiesElektron, für das keine quantisierten Zustände mehr existieren. In diesem Fall kann die kinetische Energiebeliebige Werte annehmen. In den Spektren erhält man deshalb oberhalb einer bestimmten Frequenz einKontinuumsspektrum.Bei der Herleitung der Ausdrücke für E ∞ und R ∞ haben wir als Näherung angenommen, dass sich dasElektron um einen ortsfesten Kern bewegt. Diese Näherung ist nur dann gut, wenn die Kernmasse sehrviel größer ist als die Elektronenmasse. Da Protonen eine um etwa 1836-fach größere Masse als Elektronenhaben, ist dies zwar der Fall. Aufgrund der sehr genauen spektroskopischen Methoden könnenaber diese feinen Effekte detektiert werden. In Wirklichkeit bewegt sich das Elektron nicht um einenortsfesten Kern, sondern Kern und Elektron bewegen sich vielmehr um den ortsfesten gemeinsamenSchwerpunkt. Wir wissen aber bereits (vergleiche Abschnitt 2.4.2), dass wir das Zweikörperproblemauf ein Einkörperproblem zurückführen können, indem wir nicht den Massenschwerpunkt als ruhendannehmen, sondern die Masse m K des Kerns und statt der Elektronenmasse m e die reduzierte Masseµ = m e m K /(m e + m K ) verwenden.Mit der reduzierten Masse µ X erhalten wir für einen bestimmten Kern XE X = E ∞µ Xm e(3.2.11)R X = R ∞µ Xm e. (3.2.12)Insbesondere folgt für WasserstoffE H = E ∞µ Hm e= 13.598 285 86 eV (3.2.13)R H = R ∞µ Hm e= 10 967 758.54 1/m (3.2.14)r 1 = a Bm eµ H= 5.291 770 6 × 10 −11 m . (3.2.15)Hierbei ist r 1 der Radius der 1. Bohrschen Bahn des Wasserstoffatoms. Die durch E n = −E H /n 2 gegebenenEnergiezustände des Wasserstoffatoms stimmten mit dem beobachteten Termschema sehr gut2003