Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

178 R. GROSS Kapitel 4: Das Wasserstoffatom4.10 Vertiefungsthemen4.10.1 Das Modell des ElektronsWir wissen über das Elektron bisher folgendes:Ladung:Masse:e = −1.60219 × 10 −19 Cm e = 9.10956 × 10 −31 kgSpin: |S| =√34 ¯hmagnetisches Moment:|µ s | = g s · µ BS z¯h = 9.284 763 62(37) × 10−24 J/T . (4.10.1)Hierbei lässt sich der Spin des Elektrons mathematisch wie ein Drehimpuls behandeln. Wir wissen bisheraber noch nichts über die Größe des Elektrons und die Massenverteilung im Elektron.In einem klassischen Modell nimmt man an, dass das Elektron eine Kugel mit Radius r e und einergleichförmige Massenverteilung ist. Die Ladung soll wegen der Coulombabstoßung gleichförmig überdie Oberfläche der Kugel verteilt sein. Wir können mit diesem Modell einige Abschätzungen vornehmen.Als erstes betrachten wir die Arbeit, die wir beim Aufladen der Kugel verrichten müssen. Mit derKapazität C = 4πε 0 r e einer geladenen Kugelfläche erhalten wirW = e22C =e28πε 0 r e. (4.10.2)Setzen wir diese Energie der Massenenergie m e c 2 des Elektrons gleich, so erhalten wir für den klassischenElektronenradiusr e =e 28πε 0 m e c 2 = 1.4 × 10−15 m . (4.10.3)Würde man annehmen, dass die Ladung gleichförmig über das Volumen verteilt wäre, so würde mandurch eine analoge Überlegung den doppelten Wert erhalten.Wir betrachten jetzt das magnetische Moment des Elektrons. In unserem klassischen Modell müssteman sich das magnetische Moment durch einen Kreisstrom erzeugt denken, der durch die rotierendeOberflächladung des Elektrons zustande kommt. Unter dieser Annahme erhalten wirµ s = 1 3 eωr2 e , (4.10.4)wobei ω die Winkelgeschwindigkeit der rotierenden Oberflächenladung ist. Setzt man den obigen Wertvon r e und µ s ein, so ergibt sich für die Winkelgeschwindigeitc○Walther-Meißner-Institut