Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 13.3 PHYSIK IV 50313.3 Die ZustandsdichteWir haben uns bisher mit der Besetzungswahrscheinlichkeit von Zuständen beschäftigt, aber noch nichtsüber die Quantenzustände eines einzelnen Teilchens oder deren Zahl pro Energieintervall gesagt. Wirwollen uns deshalb in diesem Abschnitt damit beschäftigen, die Zustandsdichte D(ε) der Einteilchenzuständefür ein ideales, nicht wechselwirkendes Gas zu bestimmen.Da wir Wechselwirkungen unter den Gasteilchen vernachlässigen wollen, ist der Hamilton-Operator einesGasteilchens durchĤ = 12m ̂p2 = 1 ( ) 2 ¯h2m i ∇ (13.3.1)gegeben. Mit dem Ansatz Ψ = φ exp(iωt) = φ exp(iεt/¯h), wobei φ nicht von der Zeit abhängt, erhaltenwir für φ die allgemeine Lösungφ = A e ik·r = A e i(k xx+k y y+k z z) , (13.3.2)wobei k der Wellenvektor ist, der mit ε überε = ¯h2 k 22m(13.3.3)zusammenhängt.Die Funktion φ muss bestimmte Randbedingungen erfüllen, die die Werte der möglichen Wellenvektoreneinschränkt. Betrachten wir ein System von Teilchen, die in einem Behälter mit den AbmessungenL x ,L y ,L z eingeschlossen sind, so kann man die Wände des Behälters durch eine unendlich hohe Potenzialschwellebeschreiben. Wir haben dann das Problem eines dreidimensionalen Potenzialtopfs mitunendlich hohen Potenzialwänden vorliegen, das wir schon aus Physik III kennen. Die Wellenfunktionmuss auf den Rändern des Potenzialtopfs verschwinden, woraus sich die Bedingungen1 = e ik xL xoder k x = 2πL xn x (13.3.4)1 = e ik yL yoder k y = 2πL yn y (13.3.5)1 = e ik zL zoder k z = 2πL zn z (13.3.6)ergeben. Hierbei sind n x ,n y ,n z ganze Zahlen.2003