Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

510 R. GROSS Kapitel 13: QuantenstatistikC V = 3 2 Nk B(kB Tε F)= ν 3 2 R ( TT F). (13.3.27)Hierbei ist ν die Molzahl und R = k B N A die Gaskonstante. Da T /T F ≪ 1, ist die molare spezifischeWärme des Elektronengases sehr viel kleiner als der klassisch erwartete Wert 3R/2. Außerdem istdie spezifische Wärme des Elektronengases proportional T und nicht, wie klassisch erwartet wird, unabhängigvon der Temperatur.13.3.2 Das PhotonengasWir betrachten jetzt ein Gas von nicht wechselwirkenden Photonen, die in einem Behälter mit VolumenV eingeschlossen sind. Die Photonen können als relativistische Teilchen mit der Energie ε = ¯hω unddem Impuls p = ¯hk mit |p| = ¯hω/c betrachtet werden. Wir können somit die Photonen wie ein idealesGas von freien Bosonen (Photonen haben den Spin 1) behandeln, wir sprechen vom Photonengas.Nach (13.3.10) ist die Dichte der Zustände im k-Raum V /(2π) 3 . Betrachten wir die mittlere Anzahlη(k)d 3 k von Photonen pro Volumeneinheit, deren Wellenvektor zwischen k und k+dk liegt, so erhaltenwirη(k)d 3 k =1e¯hω/k BT − 1d 3 k(2π) 3 . (13.3.28)Wir sehen, dass η(k) eine Funktion von |k| ist und bestimmen deshalb die mittlere Photonenzahl, derenFrequenz ω = c|k| im Intervall [ω,ω + dω] liegt. Diese erhält man, indem man (13.3.28) über dasgesamte Volumen des k-Raumes summiert, das in einer Kugelschale mit dem inneren Radius k = ω/cund dem äußeren Radius k + dk = (ω + dω)/c enthalten ist. Wir müssen ferner noch berücksichtigen,dass es zwei Polarisationsrichtungen gibt, was wir durch einen zusätzlichen Faktor 2 berücksichtigen.Wir erhalten somit2η(k)(4πk 2 dk) =8π(2πc) 3ω 2 dωe¯hω/k BT − 1 . (13.3.29)Wir wollen nun die mittlere Energie u(ω,T )dω pro Volumeneinheit der Photonen beider Polarisationsrichtungenim Frequenzbereich zwischen ω und ω + dω berechnen. Da jedes Photon in diesem Intervalldie Energie ¯hω hat, erhalten wiru(ω,T )dω = 2η(k)(4πk 2 dk) ¯hω (13.3.30)und mit k = ω/cc○Walther-Meißner-Institut