Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

48 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die Quantenphysik1.6 Austauschsymmetrie und Pauli-Verbot1.6.1 Die AustauschsymmetrieDer fundamentale Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen macht sich in einer weiteren wichtigenGröße bemerkbar, der so genannten Austauschsymmetrie der Wellenfunktion. Diese wollen wir imFolgenden kurz erläutern.Gegeben sei ein System von zwei identischen Quantenteilchen 1 und 2 mit den Koordinaten r 1 undr 2 . Die Zustandsfunktion, die dieses System beschreibt, sei Ψ(r 1 ,r 2 ). Für den Fall, dass zwischen denTeilchen keine Wechselwirkung besteht, zerfällt die Schrödinger-Gleichung in zwei unabhängige Teileund die Gesamtwellenfunktion kann als Produkt der beiden Teilchen beschrieben werden:Ψ(r 1 ,r 2 ) = Ψ a (r 1 ) · Ψ b (r 2 ) . (1.6.1)Dabei definieren a und b die Quantenzustände der beiden Teilchen. Wir vertauschen nun die Teilchen1 und 2, das heißt, wir bilden Ψ(r 2 ,r 1 ). Da es sich um identische Teilchen handelt, darf sichan der Zustandsfunktion nichts ändern, was durch den Ansatz (1.6.1) auch gewährleistet wird. Einephysikalische Bedeutung kommt aber nur dem Absolutquadrat der Zustandsfunktion bei, also muss|Ψ(r 1 ,r 2 )| 2 = |Ψ(r 2 ,r 1 )| 2 sein. Hierfür gibt es aber zwei Möglichkeiten:symmetrischer Austausch: Ψ(r 1 ,r 2 ) =+Ψ(r 2 ,r 1 ) (1.6.2)antisymmetrischer Austausch: Ψ(r 1 ,r 2 ) =−Ψ(r 2 ,r 1 ) . (1.6.3)Ob symmetrischer oder antisymmetrischer Austausch vorliegt, hängt vom Spin des Quantenteilchensab. Er ist symmetrisch für ganzzahligen Spin (Bosonen) und antisymmetrisch für halbzahligen Spin(Fermionen).Der Produktansatz (1.6.1) liefert nicht das gewünschte Austauschverhalten. Es ist vielmehr erforderlich,die LinearkombinationΨ(r 1 ,r 2 ) = C [Ψ a (r 1 ) · Ψ b (r 2 ) ± Ψ a (r 2 ) · Ψ b (r 1 )] (1.6.4)zu bilden, um die Gesamtwellenfunktion zu erhalten. C ist hierbei ein Normierungsfaktor. Für Bosonengilt das Plus-, für Fermionen das Minuszeichen.Insgesamt sehen wir, dass mit dem Spin ein grundsätzlich unterschiedliches Verhalten von Quantenteilchenverbunden ist. Im nächsten Abschnitt werden wir noch einen weiteren Unterschied im Verhaltenvon Bosonen und Fermionen kennenlernen, der aus der Austauschsymmetrie folgt. Wir haben bereitserwähnt, dass im Schrödinger-Formalismus der Spin eines Teilchens gar nicht enthalten ist. Um denSpin eines Teilchens zu berücksichtigen, müssen wir die Zustandsfunktion eines Teilchens als das Produkteiner Ortsfunktion Ψ(r), die aus der Schrödinger-Gleichung folgt, und einer Spinfunktion τ, dieden Spinzustand charakterisiert, schreiben:c○Walther-Meißner-Institut