Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

36 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die QuantenphysikWir weisen hier nochmals darauf hin, dass die zu verschiedenen Eigenwerten A i ≠ A k gehörendenEigenfunktionen Ψ i und Ψ k orthogonal sind (vergleiche (1.3.16)). Die Eigenfunktionen bilden einvollständiges orthonormiertes Funktionensystem. Die Zustandsfunktion ist dann nach den Eigenfunktionenentwickelbar:Ψ =∞∑ c k (t)Ψ k . (1.3.47)k=0EntartungGibt es zu einem Eigenwert A k einer Observablen mehrere Eigenfunktionen Ψ k1 , Ψ k2 ...Ψ km , so nennenwir den Eigenwert A k (m − 1)-fach entartet (vergleiche (1.3.17)).ParitätDie Parität Π einer Wellenfunktion Ψ charakterisiert ihr Verhalten bei Spiegelung am Koordinatenursprung,r → −r. Es giltΨ(−r) = Ψ(r) Π =+1 gerade Parität (1.3.48)Ψ(−r) =−Ψ(r) Π =−1 ungerade Parität (1.3.49)1.3.5 Zulässige OperatorenWir wollen nun noch überlegen, welche Operatoren für physikalische Observable in Betracht kommen.Die Linearität der Schrödinger-Gleichung erfordert, dass für jede Observable das Superpositionsprinzipgilt, d.h. es mussÂ(Ψ 1 + Ψ 2 ) = ÂΨ 1 + ÂΨ 2 . (1.3.50)gelten. Es kommen also nur lineare Operatoren in Frage.Weil A eine Observable sein soll, müssen wir ferner fordern, dass die Messwerte A k reell sind, d.h. A ⋆ k =A k . Wir können deshalb nur solche Operatoren für physikalische Größen zulassen, die reelle Eigenwertehaben. Dies ist für hermitesche Operatoren erfüllt. 2222 Ein Operator heißt linear wenn er die Bedingung Â∑ k Ψ k = ∑ k ÂΨ k erfüllt.Gilt für einen linearen Operator ∫ Ψ ⋆ ÂΨdV = ∫ Ψ ⋆ Ψ ⋆ dV = ∫ (ÂΨ) ⋆ ΨdV , dann heißt er hermitesch (nach Charles Hermite:1822-1901).c○Walther-Meißner-Institut