Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

244 R. GROSS Kapitel 7: MehrelektronenatomeE gesamt =Z∑i=1E i . (7.1.19)Wir betrachten nun wiederum die Situation für das Heliumatom. Um uns Schreibarbeit zu ersparen,bezeichnen wir die Quantenzahlen (n 1 ,l 1 ,m 1 ) und (n 2 ,l 2 ,m 2 ) für die beiden Elektronen e 1 und e 2 mit aund b. Nach (7.1.17) können wir die Wellenfunktion der beiden Elektronen für den Zustand, in dem siche 1 im Zustand a und e 2 im Zustand b befindet, alsΨ I ab(r 1 ,r 2 ) = Ψ a (r 1 ) · Ψ b (r 2 ) (7.1.20)schreiben. Äquivalent dazu können wir die Wellenfunktion für den Zustand, in dem sich e 1 im Zustandb und e 2 im Zustand a befindet, alsΨ IIab(r 2 ,r 1 ) = Ψ a (r 2 ) · Ψ b (r 1 ) (7.1.21)schreiben.Nun sind aber die beiden Elektronen nicht unterscheidbar. Das bedeutet, dass sich die Ladungsverteilungdes Gesamtatoms bei einer Vertauschung der beiden Elektronen nicht ändern darf. Es muss also|Ψ I ab| 2 = |Ψ IIab| 2 ⇒ Ψ I ab = ±Ψ IIab (7.1.22)gelten, so dass bei nochmaliger Vertauschung wiederum der Ausgangszustand erhalten wird. Wie wirbereits in Abschnitt 1.6 gesehen haben, erfüllen die Produktfunktionen (7.1.20) und (7.1.21) diese Forderungnicht. Wir können aber durch die folgenden symmetrischen und antisymmetrischen Linearkombinationenaus (7.1.20) und (7.1.21)Ψ s ab = 1 √2[Ψ a (r 1 ) · Ψ b (r 2 ) + Ψ a (r 2 ) · Ψ b (r 1 )] (7.1.23)Ψ a ab = 1 √2[Ψ a (r 1 ) · Ψ b (r 2 ) − Ψ a (r 2 ) · Ψ b (r 1 )] (7.1.24)die Forderung (7.1.22) erfüllen, die aus der Ununterscheidbarkeit der beiden Elektronen resultiert. DerFaktor 1/ √ 2 resultiert aus der Normierungsbedingung ∫ |Ψ ab | 2 dV = 1. Hierbei geht Ψ s bei Vertauschungder Elektronen in sich über, während Ψ a in −Ψ a übergeht. Die Funktionen Ψ s und Ψ a geben dieWahrscheinlichkeitsamplituden dafür an, dass sich ein Elektron im Zustand a und das andere in Zustandc○Walther-Meißner-Institut