Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 4.3 PHYSIK IV 141(a)Lµ s(b)µ s+Zer-er-e+ZeLAbbildung 4.2: Halbklassisches Modell der Spin-Bahn-Kopplung: (a) Im Ruhesystem des Kerns kreistdas Elektron um den Kern. (b) Im Ruhesystem des Elektrons kreist der Kern um das Elektron.4.3.2 Der GesamtdrehimpulsWir haben in Kapitel 3 gelernt, dass die Eigenzustände der Elektronen in Einelektronenatomen, alsoauch im Wasserstoffatom, ohne Spin-Bahn-Kopplung durch die Quantenzahlen n,l,m,m s charakterisiertwerden können. 4 Wir bringen dies dadurch zum Ausdruck, dass wir die Eigenzustände als |n,l,m,m s 〉schreiben. Da Spin und Bahndrehimpuls in verschiedenen Räumen wirken, handelt es sich bei den Eigenzuständenum ein direktes Produkt von Bahn- und Spinfunktionen: Φ(r,m s ) = Ψ n,l,m (r)·τ (m s ) (vergleicheAbschnitt 3.4).Mit dem oben abgeleiteten Spin-Bahn-Kopplungsterm schreibt sich der Hamilton-Operator des Einelektronenatomsin der FormĤ = ̂p22m + ̂V (r) + Γ(r) (Ŝ · ̂L) (4.3.7)mitΓ(r) = µ 0Ze 28πm 2 er 3 . (4.3.8)Es gilt nun die Eigenfunktionen von Ĥ zu finden. Mit dem Kopplungsterm sind die Funktionen|n,l,m,m s 〉 sicherlich keine Eigenfunktionen von Ĥ, da[̂L z ,Ĥ] = Γ(r) [̂L z ,(Ŝ · ̂L)]]= Γ(r)[̂L z ,(̂L x · Ŝ x + ̂L y · Ŝ y + ̂L z · Ŝ z )= i¯hΓ(r){̂L y · Ŝ x − ̂L x · Ŝ y } ̸= 0 (4.3.9)und ebenso4 Die Quantenzahl s haben wir dabei immer nicht explizit aufgeführt, da diese für einzelne Elektronen immer s = 1/2 ist.2003