Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.4 PHYSIK IV 133Zusammenfassung• Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung lässt sich für ein kugelsymmetrisches Potenzialin drei eindimensionale Gleichungen zerlegen. Die Wellenfunktion Ψ n,l,m (r,ϑ,ϕ)kann als Produkt Ψ n,l,m = R n,l (r)Yl m (ϑ,ϕ) dreier Funktionen einer Variablen geschriebenwerden.• Der winkelabhängige Anteil der Wellenfunktion ist für alle kugelsymmetrischen Potenzialegleich und wird durch die Kugelflächenfunktionen Yl m (ϑ,ϕ) beschrieben. Der RadialanteilR(r) hängt von der radialen Variation der potentiellen Energie ab.• Die Randbedingungen für die Wellenfunktionen (Normierbarkeit, Eindeutigkeit) führen zuQuantenbedingungen für gebundene Zustände (E < 0), die durch drei Quantenzahlenn,l,m ausgedrückt werden können.• Der Schrödinger-Formalismus muss erweitert werden, um den Spin des Elektrons zuberücksichtigen. Die Gesamtwellenfunktion kann als Produkt aus Orts- und Spinfunktiongeschrieben werden: Φ(r,m s ) = Ψ n,l,m (r) · σ s,ms . Durch den Spin erhält man zweizusätzliche Quantenzahlen s und m s , wobei für Einelektronenatome immer s = 1/2 giltund deshalb s auch weggelassen werden kann.• Berücksichtigt man zusätzlich den Elektronenspin, so wird jede Wellenfunktion eines Einelektronenatomseindeutig durch– die Hauptquantenzahl n = 1,2,3,...,– die Bahndrehimpulsquantenzahl l = 0,1,2,...,n − 1,– die Orientierungsquantenzahl oder magnetische Quantenzahl m =0,±1,±2,...,±l und– die Spin-Orientierungsquantenzahl m s = ±1/2bestimmt. Die Spinquantenzahl ist für Einelektronenatome immer s = 1/2 und mussdeshalb nicht zur Charakterisierung des Zusatndes herangezogen werden.• Die Gesamtzahl der möglichen Zustände für eine gegebene Hauptquantenzahl n istn−1n = 2 · (2l + 1) = 2 · n 2 .∑l=0• Die Energiewerte E n ergeben sich aus der Schrödinger-Gleichung mit den entsprechendenWellenfunktionen Ψ n,l,m . Sie hängen von dem genauen radialen Verlauf der potentiellenEnergie ab. Für das Coulomb-Potenzial erhält manµe 4 Z 2E n = −(4πε 0 ) 2 2¯h 2 n 2 .• Für E < 0 (gebundene Zustände) ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |Ψ n,l,m | 2 des Elektronsauf ein endliches Raumgebiet beschränkt und die Energiewerte sind gequantelt.Die Energiewwerte E n hängen nur von der Hauptquantenzahl n ab.• Für E > 0 (freie Zustände) kann sich das Elektron im ganzen Raum aufhalten und dieerlaubten Energiewerte sind kontinuierlich.2003