Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

28 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die QuantenphysikQuantenobjekt sich irgendwo im Raum befinden muss, ergibt sich daraus die Normierungsbedingung∫+∞−∞Ψ ⋆ Ψ dV =∫+∞−∞|Ψ| 2 dV = 1 . (1.3.13)Wir erhalten damit folgende Interpretation der Zustandsfunktion:|Ψ(r,t)| 2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Ortsmessung zurZeit t das Quantenobjekt am Ort r findet. Für die Wahrscheinlichkeit W(r,t)dV dasQuantenobjekt zur Zeit t im Volumen dV zu finden gilt:W(r,t)dV = |Ψ(r,t)| 2 dV . (1.3.14)Die statistische Interpretation der Zustandsfunktion darf nun nicht so interpretiert werden, dass man miteinem Teilchen Statistik treiben kann. Vielmehr wird aus den Wahrscheinlichkeitsaussagen auf den Zustandeiner Vielzahl von gleichartigen, nicht wechselwirkenden Quantenobjekten, d.h auf den Zustandeiner quantenmechanischen Gesamtheit geschlossen. Diese statistische Deutung trägt der Tatsache Rechnung,dass die experimentellen Ergebnisse Mittelwerte über viele Einzelereignisse sind.Energieeigenwerte und EigenfunktionenDie zeitliche Änderung eines quantenmechanischen Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung(1.3.9) bestimmt. In vielen Fällen interessieren aber nur stationäre Zustände. Dies gilt insbesondere dann,wenn das Potenzial V (r) nicht explizit zeitbahängig ist. In diesem Fall faktorisiert die Lösungsfunktionin einen orts- und zeitabhängigen Anteil, d.h. sie lässt sich als Produkt Ψ(r,t) = Ψ(r,0) exp(−iωt)schreiben (siehe Physik III). Die stationären Zustände werden durch die komplexe Amplitude Ψ(r) derZustandsfunktion Ψ(r,t) beschrieben, die der stationären Schrödinger-Gleichung oder Energieeigenwertgleichung)(− ¯h22m △ + E pot(r) Ψ(r) = E Ψ(r) (1.3.15)gehorcht.Die Energieeigenwertgleichung hat vielfach nur für bestimmte, diskret liegende Werte E k der Energiephysikalisch sinnvolle Lösungen. Dies resultiert daraus, dass die Lösungsfunktionen Ψ k zusätzlichenBedingungen (Randbedingungen) unterliegen. Dadurch werden die Eigenfunktionen und Energieeigenwertedes Systems bestimmt:Die speziellen Energiewerte E k , für die stationäre Lösungen der Energieeigenwertgleichungexistieren, heißen Energieeigenwerte, die zugehörigen Lösungsfunktionen Ψ kEigenfunktionen.Es sei hier ohne Beweis festgehalten, dass die zu verschiedenen Energieeigenwerten E k ≠ E l gehörendenEigenfunktionen Ψ k und Ψ l zueinander orthogonal sind. Bei entsprechender Normierung gilt alsoc○Walther-Meißner-Institut