Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 13.2 PHYSIK IV 495Die letzte Summe ist eine unendliche geometrische Reihe, da N beliebig ist. Diese kann aufsummiertwerden zu∞∑ e −βn kε k= 1 + e −βε k+ e −2βε k+ e −3βε k+ ...n k =0=11 − e −βε k. (13.2.15)Damit lässt sich (13.2.14) schreiben als〈n k 〉 = 1 β∂( )ln 1 − e −βε k∂ε k= e−βε k1 − e −βε k(13.2.16)und wir erhalten mit β = 1/k B T〈n k 〉 =1e ε k/k B T − 1. Plancksche Verteilung (13.2.17)Diese Verteilung nennt man die Plancksche Verteilung. Wir haben diese bereits im Rahmen von PhysikIII im Zusammenhang mit der Diskussion der spektralen Verteilung der Schwarzkörperstrahlungkennengelernt.13.2.3 Die Fermi-Dirac-StatistikZur Herleitung der Verteilungsfunktion von Fermionen (Fermi-Dirac-Verteilung) betrachten wir unserabgeschlossenes System aus N Teilchen als Summe eines kleinen Systems, das nur aus einem einzigenZustand k mit Energie ε k besteht, der entweder leer oder mit einem Teilchen besetzt sein kann, und einemgroßen Reservoir. Das kleine System steht mit dem Reservoir in thermischem und diffusivem Kontakt,wie es in Abb. 13.2 gezeigt ist. Das Reservoir besteht aus allen weiteren Zuständen des Gesamtsystems. 1Unsere Aufgabe besteht nun darin, den thermischen Mittelwert der Besetzung des ausgewählten Zustandeszu finden.Die Gesamtenergie des Systems ist durchE K = ∑n k ε k (13.2.18)kgegeben, wobei n k die Anzahl der Teilchen im Zustand k ist. Für Fermionen kann der Zustand des Systemsentweder leer (n k = 0) oder genau mit einem Teilchen besetzt sein (n k = 1). Die große Zustandssummeenthält deshalb genau zwei Terme1 Ist der einzelne Zustand z.B. ein bestimmter Zustand eines Wasserstoffatoms, so wird das Reservoir aus den weiterenZuständen dieses Atoms und denjenigen von allen anderen Atomen gebildet.2003