Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

142 R. GROSS Kapitel 4: Das Wasserstoffatom[Ŝ z ,Ĥ] = Γ(r) [Ŝ z ,(Ŝ · ̂L)] ≠ 0 . (4.3.10)Damit sind m und m s keine guten Quantenzahlen mehr, d.h. es ist nicht länger möglich, die Eigenfunktionendes Systems nach den Eigenwerten von L z bzw. S z zu klassifizieren. Dies wird unmittelbar imklassischen Vektormodell verständlich (siehe Abb. 4.3b). Durch den Spin-Bahn-Kopplungsterm koppeltder Spin an den Bahndrehimpuls, d.h. wir können uns beide um den GesamtdrehimpulsJ = L + S (4.3.11)präzedierend vorstellen, wobei für J wie für jeden Drehimpuls gilt:|J| = √ j( j + 1) ¯hJ z = m j¯h mit m j = − j,−( j − 1),...,+( j − 1),+ j . (4.3.12)Aus (4.3.11) entnehmen wir, dass wir die Drehimpulse wie Vektoren behandeln können, wobei wir allerdingsnoch die Quantisierungsbedingungen für Drehimpulse (4.3.12) berücksichtigen müssen. Manbezeichnet aus diesem Grund die halbklassische Methode als Vektormodell.Durch die Kopplung von L und S zu J sind aber die Projektionen von L und S auf die z-Achse nichtmehr fest und somit L z und S z keine Erhaltungsgrößen mehr. Im freien Atom verlieren also S und L ihreBedeutung, da sie um J präzedieren und somit nicht mehr stationär sind. Das Drehimpulsverhalten wirddurch J mit seinen Quantenzahlen j und m j bestimmt.Die Werte l und s behalten dagegen ihre Gültigkeit als gute Quantenzahlen bei, da[̂L 2 ,Ĥ] = [Ŝ 2 ,Ĥ] = 0 . (4.3.13)Neben ̂L 2 und Ŝ 2 vertauscht auch Ĵ 2 , wegen[Ĵ 2 ,Ĥ] = [̂L 2 ,Ĥ] + 2[(̂L · Ŝ),Ĥ] + [Ŝ 2 ,Ĥ] = 0 (4.3.14)mit dem Hamilton-Operator. Auch diese Tatsache wird vom Vektormodell richtig wiedergegeben (sieheAbb. 4.3b). Darüberhinaus ist, wie man leicht zeigen kann,[Ĵ z ,Ĥ] = 0 . (4.3.15)c○Walther-Meißner-Institut