Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.3 PHYSIK IV 113ω L = g lµ B B z¯h(3.3.65)um die z-Achse, wodurch die x- und y-Komponente des Moments nicht stationär sind. Die Frequenzω L ist die Larmor-Frequenz. Wichtig ist, dass ω L in Richtung von B z zeigt und unabhängig von derOrientierung von L, da m nicht in (3.3.65) enthalten ist.Das eben verwendete klassische Bild ist zwar nützlich für die Anschauung, allerdings nicht ganz richtig,weshalb Vorsicht bei seiner Verwendung geboten ist. Die Unbestimmtheit liegt primär bei L und gilt auchim Grenzfall B → 0 und ebenso für q = 0 vor. Es handelt sich um einen Quanteneffekt ohne klassischesAnalogon.Eine ähnliche Betrachtung wie für den Bahndrehimpuls L kann auch für den Spin S eines Teilchensgemacht werden. Da wir bisher aber den Spin noch nicht eingeführt haben, werden wir diese Diskussionin Abschnitt 3.4 nachholen.3.3.5 Die RadialabhängigkeitWir haben in den letzten Abschnitten gesehen, dass die Kugelflächenfunktionen der abseparierteAzimutal- und Polaranteil der Lösungsfunktionen der Schrödinger-Gleichung sind, die für beliebige kugelsymmetrischePotenziale die Winkelanteile Ylm der Wellenfunktion Ψ(r,ϑ,ϕ) = R(r)·Yl m (ϑ,ϕ) angeben.Der Radialanteil R(r) hängt von der speziellen r-Abhängigkeit des kugelsymmetrischen Potenzialsab. Wir werden diesen jetzt für das Coulomb-Potenzial ableiten und die Energieeigenwerte bestimmen.Mit dem Ansatz Ψ(r,ϑ,ϕ) = R(r) ·Y ml(ϑ,ϕ) lässt sich der Radialanteil nach dem bewährten Schemaabseparieren. Durch Einsetzen des Ansatzes in die Schrödinger-Gleichung (3.3.15) erhalten wir([− ¯h2 1 ∂2µ r 2 r 2 ∂ ) ]l(l + 1)¯h2+∂r ∂r 2µr 2 − Ze2 R(r) = E R(r) . (3.3.66)4πε 0 rDiese Gleichung schreiben wir um in die Formd 2 Rdr 2 + 2 ( [ ] )dR 2µr dr + ¯h 2 E + Ze2 l(l + 1)−4πε 0 r r 2 R = 0 , (3.3.67)wobei wir die partiellen Ableitungen durch totale Ableitungen ersetzt haben, da die radiale Funktion Rnur noch von r abhängt. Die ganze Zahl l gibt den Drehimpuls des Teilchens in Bezug auf den Nullpunktr = 0 des Relativkoordinatensystems an, der im Atomkern liegt.Um die Gleichung zu lösen, betrachten wir zuerst den asymptotischen Grenzfall sehr großer Abstände,d.h. r → ∞. Um überhaupt normierbar zu sein, muss die Radialfunktion stärker als 1/r abfallen. 19 Wirmachen deshalb den Ansatz19 Normierbar heißt, dass das Integral ∫ |R(r)| 2 r 2 dr existiert. Da der Phasenraum mit r 2 ansteigt, muss R(r) stärker als 1/rabfallen.2003