Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 9.5 PHYSIK IV 3459.5 Die KernbewegungIm Abschnitt 9.1.2 hatten wir die Kernbewegung mit Hilfe der Born-Oppenheimer Näherung (adiabatischeNäherung) von der Elektronenbewegung absepariert. Wir wollen die sich daraus ergebende Wellengleichung(9.1.7) hier noch einmal angeben:][− ¯h22M ∇2 R + Epot(R)i F i (R) = E i F i (R) . (9.5.1)Sie entspricht der Schrödinger-Gleichung eines Teilchens in einem Potential E i (R), wie wir sie z.B. beider Behandlung gebundener Zustände im Potenzialtopf bereits kennengelernt haben. 12 Wie im Falle desWasserstoffatoms ist das darin auftretende Potenzial isotrop, d.h. nur von R = |R| abhängig. Wir dürfendaher die Wellenfunktion in der FormF i (R) = F i (R,ϑ,ϕ) = S i (R) ·Y (ϑ,ϕ) . (9.5.2)Die Y (ϑ,ϕ) sind dabei die harmonischen Kugelfunktionen, welche durch die beiden Quantenzahlen Jund M des molekularen Gesamtdrehimpulses J bestimmt sind.Setzen wir den Produktansatz (9.5.2) in (9.5.1) ein, so erhalten wir (siehe hierzu Abschnitt 3.3.5) für dieRadialfunktion die Gleichung(1 dR 2 R 2 dS )+ 2M []J(J + 1)¯h2dR dR ¯h 2 E − E pot (R) −2MR 2 S = 0 . (9.5.3)Der letzte Term in der eckigen Klammer ist, wie wir unten zeigen werden, die Rotationsenergie einesstarren Rotators. Der erste Term verschwindet für R = R 0 = const, also für einen festen Abstand derbeiden Kerne.Für die Winkelfunktion die bereits in Abschnitt 3.3.3 behandelte Gleichung1sinϑ(∂sinϑ ∂Y )+ 1∂ϑ ∂ϑ sin 2 ϑ∂ 2 Y+ J(J + 1) = 0 . (9.5.4)∂ϕ2 12 Der Index i soll uns daran erinnern, dass wir es mit einem spezifischen Elektronenzustand zu tun haben. Wir werden derEinfachheit halber im Folgenden aber den Index i weglassen.2003