Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 12.4 PHYSIK IV 465Hierbei haben wir die Multiplikationseigenschaft der Exponentialfunktion ausgenutzt. Da die kinetischeEnergie eine Summe von N Einteilchenenergien ist, spaltet sich der entsprechende Anteil der Verteilungsfunktionin ein Produkt von N Integralen auf, die alle von der Form∫ ∞−∞e − β2m p2 d 3 psind. Das Integral über die Ortskoordinaten ergibt einfach∫d 3 q 1 ···d 3 q N =∫d 3 q 1∫∫d 3 q 2 ···d 3 q N = V N ,da jede einzelne Integration über das Volumen des Behälters zu erstrecken ist. 6 Aus Z wird dann einfachein ProduktZ = ζ N oder (12.4.4)lnZ = N · lnζ , (12.4.5)wobeiζ = V ∫∞h 3−∞e − β2m p2 d 3 p (12.4.6)die Verteilungsfunktion eines einzelnen Gasteilchens ist.Für das Integral in (12.4.6) erhalten wir 7∫ ∞−∞e − β2m p2 d 3 p =( ) 2πm 3/2,β6 Würden die Teilchen miteinander wechselwirken, so hätten wir einen Ausdruck∫ ∞−∞e −βV (q 1,...,q N ) d 3 q 1 ···d 3 q N ,wobei V das Wechselwirkungspotenzial darstellt. Hier liegt keine Summe von Einteilchenenergien vor und die Integrationgestaltet sich extrem schwierig. Deshalb ist die Behandlung wechselwirkender Gase sehr kompliziert.7 Mit der Substitution r = p √ β/m und d 3 p = (m/β) 3/2 d 3 r erhalten wir∫exp(−β p 2 /2m)d 3 p = (m/β) 3/2 ∫exp(−r 2 /2)d 3 r = (m/β) 3/2 ( √ 2π) 3 = (2πm/β) 3/2 .2003