Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 9.2 PHYSIK IV 329Aus (9.2.2) erhalten wir unter Benutzung von (9.2.1):Ψ s (r 1 ,r 2 ) =12 + 2S AB[φ A (r 1 ) + φ B (r 1 )] · [φ A (r 2 ) + φ B (r 2 )] . (9.2.4)Ferner können wir die anti-symmetrische Wellenfunktion (9.2.3) in Form einer Slater-DeterminanteΨ(r 1 ,r 2 ,s 1 ,s 2 ) =∣ Ψs (r 1 )σ + (r 1 ) Ψ s (r 2 )σ + (r 2 )Ψ s (r 1 )σ − (r 1 ) Ψ s (r 2 )σ − (r 2 )∣ (9.2.5)darstellen.Die Gesamtenergie der Elektronen im starren H 2 -Molekül erhalten wir mit dem Hamilton-Operator (siehehierzu Abb. 9.11)(Ĥ = − ¯h2 (∇ 2 1 + ∇ 22m2) +e2− 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 )e 4πε 0 r A1 r B1 r A2 r B2 r 12 R. (9.2.6)Hierbei gibt der Anteil(Ĥ i = − ¯h2 ∇ 2 i +e2− 1 − 1 + 1 )2m e 4πε 0 r Ai r Bi R(9.2.7)die Energie des H + 2-Molekülions an, bei dem nur das Elektron i vorhanden ist. Den Ausdruck (9.2.6)können wir damit aufspalten in(Ĥ = Ĥ 1 + Ĥ 2 + e2 1− 1 )4πε 0 r 12 R. (9.2.8)Der dritte Term beschreibt die Abstoßung der beiden Elektronen 9 und die Kernabstoßung e 2 /4πε 0 Rmuss hier wieder einmal abgezogen werden, da sie bereits sowohl in Ĥ 1 als auch Ĥ 2 , also zweimal,berücksichtigt wurde. Die beiden ersten Terme in (9.2.8), Ĥ 1 und Ĥ 2 , beschreiben das H + 2 -Molekülionund wurden bereits im vorangegangenen Abschnitt behandelt. Insgesamt erhalten wir die Energie E(R)des H 2 -Grundzustands also in dieser Näherung als die doppelte Energie des H + 2-Molekülions plus derElektronenabstoßung minus der Kernabstoßung.Berechnen wir die Energiekurve E(R) des H 2 -Gurndzustands mit dem Hamilton-Operator (9.2.6), soerhalten wir eine Kurve die für R = R 0 ein Minimum besitzt. Die Rechnung zeigt, dass in der Nähevon R = R 0 sich die beiden Anteile des dritten Terms in (9.2.8) praktisch aufheben, so dass sich für dieBindungsenergie des H 2 -Moleküls in dieser einfachen Näherung etwa der doppelte Wert der BindungsenergieE B des H + 2 -Molekülions ergibt. Das heißt, wir erhalten E B = −2 · 1.77 = −3.54 eV, was mit demexperimentellen Wert E expB = −4.747 eV nicht gut übereinstimmt.9 Man beachte, dass die Elektronenabstoßung zwar im Hamilton-Operator berücksichtigt wird, nicht aber in dem Molekülorbitalansatz(9.2.1) für die Wellenfunktionen.2003