Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

492 R. GROSS Kapitel 13: QuantenstatistikHierbei läuft die Summe über alle möglichen Gesamtzustände K des Gases, das heißt, über allemöglichen Werte der Zahlen n 1 ,n 2 ,n 3 ,....Da der Boltzmann-Faktor exp[−β(n 1 ε 1 + n 2 ε 2 + ...)] die relative Wahrscheinlicheit dafür darstellt, dasGas in einem bestimmten Zustand zu finden, bei dem sich n 1 Teilchen im Zustand 1, n 2 Teilchen imZustand 2 usw. befinden, können wir für die mittlere Teilchenzahl im Zustand k schreiben:〈n k 〉 =∑n k e −β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 +...)K∑Ke −β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 +...). (13.2.4)Diesen Ausdruck können wir umschreiben in〈n k 〉 = 1 Z ∑ K= − 1β Z= − 1 β(− 1 β)∂e −β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 +...)∂ε k∂Z∂ε k∂ lnZ∂ε k. (13.2.5)Wir sehen, dass wir die mittlere Teilchenzahl in einem Einteilchenzustand k auch durch die ZustandssummeZ ausdrücken können. Da die Berechnung aller interessierenden Größen die Auswertung derZustandssumme (13.2.3) erfordert, müssen wir genauer diskutieren, was wir bei der Ermittlung der Zustandssummemit der Summe über alle möglichen Zustände des Gases meinen.1. Maxwell-Boltzmann-Statistik:Hier kann jeder Einteilchenzustand k mit einer beliebigen Teilchenzahl besetzt werden, d.h. wirmüssen über alle Werten k = 0,1,2,3,... für jedes k (13.2.6)unter der Nebenbedingung∑n k = N (13.2.7)kaufsummieren. Dabei müssen wir berücksichtigen, dass die Teilchen in diesem klassischenFall unterscheidbar sind. Wir müssen also jede Permutation von zwei Teilchen in verschiedenenZuständen als neuen Zustand des gesamten Gases betrachten, obwohl das Zahlentupel{n 1 ,n 2 ,n 3 ,...} gleich bleibt. Es ist also hier nicht ausreichend anzugeben, wie viele Teilchen welchenZustand besetzen, sondern welches Teilchen sich in welchem Zustand befindet. Dies ist sehrc○Walther-Meißner-Institut