Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

34 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die Quantenphysikals Erwartungswert für den Ort r eines Teilchens auffassen. Da durch (1.3.39) also kein Mittelwertsondern ein Erwartungswert für eine Observable definiert wird, werden wir die Schreibweise〈r〉 =∫ ∞−∞Ψ ⋆ ̂r Ψ dV (1.3.40)für den Erwartungswert verwenden. An Stelle der exakten Ortsangabe in der klassischen Physik tritt inder Quantenphysik also eine Wahrscheinlichkeitsangabe. Machen wir eine Reihe von Messungen desOrtes r eines Teilchens, das durch seine stationäre Zustandsfunktion Ψ(r) beschrieben wird, so erhaltenwir eine Verteilung der Messgröße r um den Mittelwert. Wichtig ist, dass diese Verteilung nicht durchstatistische Messfehler zustande kommt, sondern durch die Tatsache, dass der Ort des Teilchens aufgrundder Unschärferelation eine endliche Unschärfe ∆r ≥ ¯h/∆p besitzt.Allgemein erhalten wir für den Erwartungswert einer Observablen A mit der Zustandsfunktion Ψ(r) denAusdruck〈A〉 =∫ ∞−∞Ψ ⋆ Â Ψ dV , (1.3.41)wobei  der zur physikalischen Observablen A zugeordnete Operator heißt. 21 Wir können also folgendeallgemeine Definition geben:Der Erwartungswert einer physikalischen Messgröße (Observablen) eines Teilchens istder Mittelwert dieser Größe, gebildet mit der Zustandsfunktion des Teilchens.Der Erwartungswert der Observable A im Zustand Ψ repräsentiert den Mittelwert der Messwerte dieserObservablen an einem System, das sich im Zustand Ψ befindet.1.3.4 Eigenwerte und EigenfunktionenWir haben bereits bei der Diskussion der Schrödinger-Gleichung die Begriffe Energieeigenwerte undEigenfunktionen eingeführt. Wir wollen diese Diskussion jetzt auf beliebige Operatoren erweitern. Wennbei der Anwendung des Operators  auf eine Zustandsfunktion Ψ k sich diese Funktion bis auf einenkonstanten Faktor A k reproduziert, d.h. wennÂΨ k = A k Ψ k (1.3.42)21 Bewegt sich z.B. ein Elektron, dass durch die Zustandsfunktion Ψ beschrieben wird, in einem elektrostatischen Potenzialφ(r), so können wir seine mittlere potentielle Energie zuangeben.∫ ∞〈E pot 〉 = −e Ψ ⋆ (r)φ(R)Ψ(r) dV−∞c○Walther-Meißner-Institut