Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.3 PHYSIK IV 107(̂L x = i¯h sinϑ ∂̂L y = i¯h)∂+ cotϑ cosϕ∂ϕ∂ϑ(−cosϑ ∂∂+ cotϑ sinϕ∂ϑ ∂ϕ)(3.3.41)(3.3.42)̂L z = −i¯h ∂∂ϕ . (3.3.43)Damit ergibt sich für den Operator des DrehimpulsquadratŝL 2 = ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z= −¯h 2 [ 1sinϑ∂∂ϑ(sinϑ ∂ )+ 1∂ϑ sin 2 ϑ∂ 2 ]∂ϕ 2. (3.3.44)Vergleichen wir (3.3.44) mit dem Ausdruck (3.3.12) für den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten, sosehen wir, dass der Inhalt der eckigen Klammern gerade proportional zum Winkelanteil des Laplace-Operators △ = ∇ 2 ist. Der genaue Vergleich von (3.3.12) mit (3.3.44) zeigt, dass wir ˆp 2 = −¯h 2 ∇ 2 wiefolgt schreiben können:̂p 2 = ̂p 2 r + ˆL 2r 2 , (3.3.45)wobei(̂p 2 r = − ¯h2 ∂r 2 r 2 ∂ )∂r ∂r. (3.3.46)Wir sehen, dass ̂L 2 proportional zum Winkelanteil des ∇ 2 -Operators ist. Dies bedeutet, dass die KugelflächenfunktionenEigenfunktionen des Operators ̂L 2 sind, da sie ja auch Eigenfunktionen zum Winkelanteildes ∇ 2 -Operators sind.Für den Hamilton-Operator erhalten wirĤ = ̂p2 r2µ + ̂L 22µr 2 + ̂V (r) = Ê kin + Ê rot + ̂V . (3.3.47)2003