Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 1.3 PHYSIK IV 31wobei q i und p i die verallgemeinerten Lage- und Impulskoordinaten und f die Anzahl der mechanischenFreiheitsgrade sind. Die Hamilton-Funktion ist durchH(q i , p i ,t) =f∑i=1∂q i∂tp i − L(q i ,∂q i /∂t,t) (1.3.20)gegeben, wobei L die Lagrange-Funktion 19L(q i ,∂q i /∂t,t) = E kin( ∂q1∂t (t),..., ∂q f∂t (t) )− E pot (q 1 (t),...,q f (t)) (1.3.21)ist. Liegen nur konservative Kräfte vor, dann ist H mit der Gesamtenergie E identisch. 20Um von der klassischen Beschreibung zu einer zweckmäßigen Darstellung der Gesetzmäßigkeiten imBereich der Quantenphysik zu gelangen, führen wir folgende Operatoren ein:̂p i ≡ −i¯h ∂∂q iImpulsoperator (1.3.22)̂q i ≡ q i Ortsoperator (1.3.23)Ĥ ≡ H(̂q i , ̂p i ,t) Hamilton-Operator (1.3.24)Ê ≡ −i¯h ∂ ∂tEnergieoperator (1.3.25)Der Energieoperator Ê = i¯h ∂ ∂trepräsentiert in der Quantenmechanik die Observable Energie, währendder Hamilton-Operator ihren funktionellen Zusammenhang mit dem Orts- und Impulsoperator des Objektesdarstellt.Nach der obigen Definition sind einem freien Mikroobjekt ( f = 3) der Impulsoperator( ∂̂p = ̂p x + ̂p y + ̂p z = −i¯h∂x + ∂ ∂y ∂z)+ ∂= i¯h∇ (1.3.26)und der Operator der potentiellen EnergieÊ pot = V (r) (1.3.27)zuzuordnen. Damit erhalten wir aus der klassischen Hamilton-Funktion als Hamilton-Operator für dasQuantenobjekt im nichtrelativistischen Grenzfall19 Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1812).20 Die Hamilton-Funktion eines Teilchens mit Impuls p, der kinetischen Energie E kin = p 2 /2m und der potentiellen EnergieE pot schreibt sich demnach nach dem Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik H = E = p 2 /2m + E pot .2003