Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 13.2 PHYSIK IV 49943Bose-Einsteinf(ε) n(ε)21Fermi-Dirac0-2 -1 0 1 2(ε - µ) /k BTAbbildung 13.4: Grafische Darstellung der Bose-Einstein und der Fermi-Dirac Verteilungsfunktion inAbhängigkeit der reduzierten Energie für ε − µ/k B T . Den klassischen Geltungsbereich, in dem beideVerteilungen etwa gleich sind, erhält man für ε − µ/k B T ≫ 1. Das chemische Potenzial einer Bose-Einstein Verteilung ist immer negativ, wenn man den Energienullpunkt so wählt, dass er mit der Energiedes niedrigsten Zustandes zusammenfällt. Wäre µ positiv, so könnte der Nenner von (13.2.28) negativwerden, was zu negativen, physikalisch nicht sinnvollen Besetzungszahlen führen würde.oder mit β = 1/k B T und λ −1 = e −µ/k BTn(ε) =1e (ε−µ)/k BT − 1, Bose-Einstein-Verteilung (13.2.28)wobei wir n(ε) statt 〈n k 〉 geschrieben haben. Gleichung (13.2.28) definiert die Bose-Einstein Verteilungsfunktion.Sie ist in Abb. 13.4 zusammen mit der Fermi-Dirac Verteilungsfunktion grafisch dargestellt.Wir sehen, dass für den Grenzfall ε − µ ≫ k B T die beiden Verteilungsfunktionen näherungsweise gleichsind. Diesen Bereich nennt man den klassischen Grenzfall, auf den wir weiter unten noch zu sprechenkommen. 3Die Größe n(ε) bezeichnet man auch als die Besetzung eines Zustandes. Für Bosonen ist n(ε) aber nichtdasselbe wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zustand besetzt ist. Für Fermionen sind dagegen dieBesetzung und die Wahrscheinlichkeit dasselbe, da nur 0 oder 1 Teilchen einen Zustand besetzen können.Die Bose-Einstein-Verteilung unterscheidet sich mathematisch von der Fermi-Dirac Verteilungsfunktionnur dadurch, dass im Nenner eine −1 statt eine +1 steht. Dieser kleine Unterschied hat aber physikalischesehr bedeutsame Folgen, wie wir in den folgenden Abschnitten noch diskutieren werden.3 Wir weisen an dieser Stelle auch darauf hin, dass die Wahl des Nullpunktes der Energie ε immer willkürlich ist. Diespezielle Wahl, die man bei einem bestimmten Problem trifft, wirkt sich auf den Wert des chemischen Potenzials aus. Der Wertder Differenz ε − µ ist unabhängig von der Wahl des Nullpunktes von ε.2003