Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

506 R. GROSS Kapitel 13: QuantenstatistikdN / dε70605040302010Maxwell-BoltzmanndN / dε70605040302010Maxwell-Boltzmann00 2 4 6 8ε /k BTFermi-DiracFermi-Dirac00 10 20 30 40ε /k BTAbbildung 13.6: Anzahl der Teilchen pro Energieintervall als Funktion der Energie für die Maxwell-Boltzmann- und die Fermi-Dirac-Verteilung. Das Inset zeigt den Bereich niedriger Energie vergrößert.Die Zustandsdichte ist so normiert, dass∫ ∞0D(ε) · f (ε,T ) dε = N , (13.3.16)also die Gesamtzahl der Teilchen im System ergibt. Die Verteilungsfunktion gibt also an, welcher Bruchteilder möglichen Zustände bei gegebener Temperatur tatsächlich besetzt ist.13.3.1 Vertiefungsthema:Das freie ElektronengasIn einem Metall ist es möglich, in erster Näherung die gegenseitige Wechselwirkung der Leitungselektronenzu vernachlässigen. Wir können deshalb diese Elektronen wie ein ideales Gas von freien Fermionen(Elektronen haben den Spin 1/2) behandeln, wir sprechen vom freien Elektronengas. Die Konzentrationder Elektronen ist allerdings so hoch, dass wir das Elektronengas nicht klassisch behandeln dürfen (vergleichehierzu unser Beispiel auf Seite 468). Ein gutes Beispiel sind die Alkalimetalle mit nur einemElektron außerhalb der Edelgasschale, welches leicht abgegeben werden kann. Diese Elektronen könnensich im Metall quasi frei bewegen, können aber den Kristall nicht verlassen, da zum Verlassen des Metallsdie Austrittsarbeit geleistet werden muss. Wir haben es also mit Elektronen zu tun, die in einendreidimensionalen Potenzialkasten, mit der Höhe der Austrittsarbeit eingeschlossen sind. Da der Kastenmakroskopische Dimensionen besitzt, liegen die erlaubten Energiewerte (13.3.7) sehr eng und bilden einQuasikontinuum.Betrachten wir ein Stück Metall mit dem Volumen V und der Gesamtzahl N der Leitungselektronen indiesem Stück, so giltc○Walther-Meißner-Institut