Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

494 R. GROSS Kapitel 13: Quantenstatistiksehr viel größer als Nε 1 sein. Das Paulische Ausschließungsprinzip hat also weitreichende Folgen fürdas Gesamtsystem.Wir wollen nun noch die mittlere Besetzungszahl 〈n k 〉 eines bestimmten Zustands k betrachten. Ausgehendvon (13.2.4) können wir die Summe ∑ K über alle möglichen Gesamtzustände K für ununterscheidbareTeilchen durch eine Summe ∑ n1 ,n 2 ,... über alle Zahlentupel {n 1 ,n 2 ,...} ersetzen und erhalten:〈n k 〉 =∑ n k e −β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 +...+n k ε k +...)n 1 ,n 2 ,...∑ e −β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 +...+n k ε k +...)n 1 ,n 2 ,.... (13.2.11)Dies können wir umschreiben in〈n k 〉 =∑nkn k e −βn kε k∑nke −βn kε k(k)∑ e −β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 +...)n 1 ,n 2 ,...(k)∑ e −β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 +...)n 1 ,n 2 ,.... (13.2.12)Hierbei lassen die Summen ∑ (k) im Zähler und Nenner den Zustand k außer Betracht (vergleiche hierzuauch die Herleitung des Gleichverteilungssatzes in Abschnitt 12.4.3).13.2.2 Photonen-StatistikDie Photonen-Statistik stellt den Spezialfall der Bose-Einstein-Statistik mit unbestimmter Teilchenzahldar. Die Besetzungszahlen n 1 ,n 2 ,... können hier alle Werte n k = 0,1,2,3,... ohne jegliche Einschränkungannehmen. Die Summen ∑ (k) im Zähler und Nenner von (13.2.12) sind deswegen identischund kürzen sich heraus. Deswegen bleibt einfach〈n k 〉 =∑nkn k e −βn kε k∑nke −βn kε k(13.2.13)übrig. Durch Umformen erhält man〈n k 〉 =− 1 β= − 1 β∂∂ε k∑nke −βn kε k∑e −βn kε knk( )∂ln∂ε k∑e −βn kε kn k. (13.2.14)c○Walther-Meißner-Institut