Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 6.4 PHYSIK IV 2176.4 ÜbergangsmatrixelementeIn der bisherigen Diskussion haben wir keine weiteren Angaben zu den Koeffizienten A n k,l k ,m ki in (6.2.3),welche die Rate für Absorptions- bzw. Emissionsprozesse bestimmen, gemacht. Das Berechnen dieserKoeffizienten ist durch die Tatsache erschwert, dass die Störung des elektronischen Systems durch dasäußere elektromagnetische Feld nicht stationär, sondern von der Zeit explizit abhängig ist. Da wir diePrinzipien der zeitabhängigen Störungsrechnung hier nicht darlegen wollen, sehen wir uns gezwungenauf eine strenge Darstellung zu verzichten. Die für den Experimentator wesentlichen Aussagen lassensich aber auch ohne strenge, mathematische Herleitung formulieren. 11 Wie die quantenmechanischeBehandlung (zeitabhängige Störungsrechnung) zeigt, ist die Wahrscheinlichkeit für einen strahlendenÜbergang vom Zustand E i in den Zustand E k in niedrigster Ordnung dem Absolutquadrat des MatrixelementesM ik des Wechselwirkungsoperators Ŵ proportional:M ik = |〈i|Ŵ|k〉| 2 . (6.4.1)Das Matrixelement 12 ist dabei, wie in der Formel angedeutet, bezüglich des Anfangszustandes |i〉 und desEndzustandes |k〉 des elektronischen Übergangs zu bilden und schreibt sich in der wellenmechanischenDarstellung alsM ik =∫VΨ ⋆ i (r) Ŵ(r) Ψ k (r) dV . (6.4.2)Die Wechselwirkung der Elektronen mit einem äußeren Feld ist durch (vergleiche hierzu (4.6.23) inAbschnitt 4.6.2)Ŵ = e m e · ̂p (6.4.3)gegeben. Wie sich weiter unten herausstellen wird, ist es zweckmäßig, für das Vektorpotenzial A imFalle des elektromagnetischen Strahlungsfelds einen Fourier-Ansatz der Form(A = A 0 ê e i(k·r−ωt) + e −i(k·r−ωt)) (6.4.4)11 Die Emission und Absorption von Licht ist, wie schon erwähnt wurde, auf die Wechselwirkung der geladenen Materiemit dem elektromagnetischen Feld zurückzuführen, welches eigentlich auch quantisiert werden müsste. Es zeigt sich, dass diewesentlichen Aussagen schon gewonnen werden können, wenn wir das System halbklassisch beschreiben, d.h. wenn wir dieQuantenstruktur des elektromagnetischen Feldes nicht in den Hamilton-Operator einfließen lassen. Das Strahlungsfeld tritt nurim Operator A(r,t) auf. Dieser wirkt auf die Zustände des Elektrons als zeitabhängiges äußeres Feld.12 Wir können die Erwartungswerte M ik für alle Übergänge eines Atoms in einer Matrix anordnen, deren von Null verschiedeneElemente gerade alle möglichen Übergänge und ihre Amplituden angeben. Deshalb bezeichnen wir die M ik alsMatrixelemente.2003