Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Anhang A: Rutherfordsche Streuformel PHYSIK IV 533ARutherfordsche StreuformelZur Herleitung der Rutherfordschen Streuformel wird der Zusammenhang des Stoßparameters b mit demStreuwinkel ϑ benötigt. Wir wollen deshalb in diesem Abschnitt den Ausdruck für den Stossparameterbeim Stoß eines α-Teilchens (Ladung +2e) mit dem Coulomb-Potenzial eines Atomkerns der Ladung+Ze ableiten. Da die zwischen Kern und α-Teilchen wirkende Coulomb-Kraft stets parallel zu demvom Kern zum α-Teilchen weisenden Ortsvektor ist, gilt der Flächensatz. In diesem Fall ist die Bahndes α-Teilchens eben und es ist zweckmäßig, den Bahnverlauf in Polarkoordinaten ρ,ϕ zu betrachten.Ferner können wir das Zweiteilchenproblem auf ein Einteilchenproblem zurückführen, indem wir dieKernmasse m K als in Ruhe befindlich betrachten und für die Masse des α-Teilchens die reduzierte Masseµ = m αm Km α + m K(A.1)und für seine Geschwindigkeit die Relativgeschwindigkeitv = v α − v K (A.2)verwenden. Den Ursprung des Koordinatensystems legen wir in den ruhenden Atomkern (sieheAbb. A1).Für ρ → ∞, also sehr weit weg vom Atomkern, soll das α-Teilchen die EnergieE kin = 1 2 µv2 0 (A.3)besitzen. Seine Bahn verläuft dort geradlinig. Nähert sich das α-Teilchen dem Kern, so wird es vondieser geradlinigen Bahn abgelenkt. Wir wollen zuerst den Bahnverlauf ρ(ϕ) berechnen. Nach demCoulombschen Gesetz und F = qE bewegt sich das α-Teilchen im elektrischen Feld E bzw. Potenzial Vdes Kerns (q = +Ze)E =ZeZêρ V =4πε 0 ρ2 4πε 0 ρ ,(A.4)wobei ̂ρ der Einheitsvektor in ρ-Richtung ist, also vom Kernort zum Ort des α-Teilchens.Wegen rotE = rotF/q = 0, d.h. rotF = 0, gilt für das betrachtete Problem der Energieerhaltungssatzder klassischen Mechanik. Da für die potentielle Energie E pot = qV = +2eV gilt, da die Ladung desα-Teilchens +2e beträgt, so folgt aus dem EnergieerhaltungssatzE kin + E pot = 1 2 µv2 0 +2e · Ze4πε 0 ρ = const.(A.5)2003