Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 10.4 PHYSIK IV 385gegeben ist. Hierbei resultiert der Term 4πv 2 aus der Annahme der Richtungsunabhängigkeit der Verteilungsfunktion,d.h. F(v) → F(v). 2 Der Term (m/2πk B T ) 3/2 resultiert aus der Normierung der Funktion.Wir sehen, dass die Geschwindigkeitsverteilung von der Temperatur und der Teilchenmasse abhängt. Mitzunehmender Temperatur und abnehmender Teilchenmasse wird die Geschwindigkeitsverteilung breiterund ihr Maximum verschiebt sich zu höheren Geschwindigkeitswerten.(Den Exponentialterm exp− m Nv 22k B T) (= exp− E kink B T)bezeichnet man als Boltzmann-Faktor. Wir werdenin Kapitel 12 sehen, dass die für identische klassische (also unterscheidbare) Teilchen erhaltene Verteilungsfunktionfür identische Quantenteilchen (also ununterscheidbare Teilchen) modifiziert werdenmuss.Wahrscheinlichste und durchschnittliche GeschwindigkeitDie wahrscheinlichste Geschwindigkeit v max ist durch das Maximum der Maxwell-Boltzmann-Verteilung gegeben. Die durchschnittliche Geschwindigkeit 〈v〉 ist durch den Mittelwert der Geschwindigkeitengegeben. Wir erhalten (siehe Abschnitt 12.5.1):v max =〈v〉 =√2k B T=m N√8k B T=πm N√23 v rms (10.4.9)√83π v rms . (10.4.10)Wir sehen, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit 〈v〉 zwischen der mittleren quadratischen Geschwindigkeitv rms und der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit v max liegt.10.4.3 FreiheitsgradeUnter einem Freiheitsgrad eines Teilchens verstehen wir ganz allgemein die Beschreibung derMöglichkeiten, Energie aufzunehmen und in eine Form von Bewegung umzusetzen. Hierbei kann essich um eine Translations-, Rotations- oder Schwingungsbewegung handeln. Die Anzahl der Freiheitsgradebezeichnen wir mit der dimensionslosen Größe f , die die Anzahl der voneinander unabhängigenBewegungsformen angibt.Für einatomige Teilchen (z.B. alle Edelgase) gibt es nur 3 Freiheitsgrade für die Translationsbewegungentsprechend der Bewegung in x-, y- und z-Richtung. Für zweiatomige Teilchen (z.B. N 2 , O 2 ) kommenzwei weitere Freiheitsgrade hinzu entsprechend der Rotation um die beiden Achsen, die senkrecht zurVerbindungslinie der beiden Atome liegen. Es liegen also insgesamt 5 Freiheitsgrade vor. MehratomigeSysteme (z.B. SO 2 , NH 3 , CH 4 ) haben meist drei Rotationsachsen und somit insgesamt 6 Freiheitsgrade.Die Schwingungsfreiheitsgrade werden in Gasen meist erst bei sehr hohen Temperaturen angeregt(vergleiche Kapitel 9), so dass die Schwingungsfreiheitsgrade oft vernachlässigt werden können. BeiFestkörpern ergeben die Translationsfreiheitsgrade ( f = 3) und die Schwingungsfreiheitsgrade um dieGitterplätze ( f = 3) insgesamt 6 Freiheitsgrade. Die Rotationsfreiheitsgrade fallen hier weg.2 In diesem Fall gilt ∫ F(v)dv x dv y dv z = ∫ F(v)dv x dv y dv z = ∫ F(v) v 2 dvsinϑdϑdϕ = 4π ∫ F(v)v 2 dv.2003