Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 9.1 PHYSIK IV 319yϕASxBzr Ae -r BEbene ν = 0Ar ArϕSr BBEbene ϕ = 0zRotationsellipsoidµ = constAbbildung 9.4: Zur Definition der elliptischen Koordinaten. Die beiden Kerne befinden sich in den Brennpunktendes Rotationsellipsoids. Der durch den Vektor r charakterisierte Ort P des Elektrons wirdbezüglich eines über µ = (r A + r B )/R definierten Ellipsoids festgelegt. P liegt somit auf der Oberflächedes Ellipsoids. Die weitere Festlegung der Position von P auf der Oberfläche (2-D Mannigfaltigkeit)verlangt nach zwei weiteren Koordinaten ν und ϕ. ν = (r A − r B )/R entspricht Schnitten des Ellipsoidssenkrecht zur Verbindungsachse der Brennpunkte. Die Grenzflächen dieser Schnitte sind Kreisbahnen.Der Winkel ϕ = arctan(y/x) gibt den Ort P auf dem Kreis an.Dadurch ergeben sich drei getrennte Gleichungen für die Funktionen M,N und Φ, die analytische lösbarsind. Ähnlich wie beim Wasserstoffatom erhalten wir aus der Forderung der Eindeutigkeit und der Normierbarkeitder Lösungsfunktionen 3 Quantenbedingungen, die zu den Quantenzahlen n µ , n ν und mführen.Die Lösung der Differentialgleichung für M(µ) und N(ν) führt auf diskrete EnergieniveausE nµ ,n ν(R) ,die von den beiden Hauptquantenzahlen n µ und n ν abhängen. Die Hauptquantenzahlen geben direkt dieAnzahl der Nullstellen der Funktionen M(µ) und N(ν) an. Die Energien sind dabei eine Funktion desParameters R:〈E nµ ,n ν(R) = 〈Ekin Elektron 〉 + e2 14πε 0 R −e2 1+ 1 〉4πε 0 r A r B. (9.1.10)2003