Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 7.2 PHYSIK IV 2497.2 Numerische Methoden und NäherungsverfahrenWir hatten bei der Behandlung des Heliumatoms im vorangegangenen Abschnitt darauf hingewiesen,dass eine exakte analytische Lösung der Schrödinger-Gleichung für Vielelektronenatome wegen dernicht mehr kugelsymmetrischen Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Elektronen nicht möglichist. Wir müssen deshalb numerische Methoden oder Näherungsverfahren einsetzen. Bei letzteren beginntman mit einem vereinfachten Atommodell, das man zwar auch nicht analytisch behandeln kann,aber mit relativ geringem numerischem Aufwand lösen kann. Der Weg der Näherungsverfahren hat denVorteil, dass er einen Einblick in die Größenordnung der vernachlässigten Effekte gibt, die man dannnachträglich wieder zum vereinfachten Modell hinzufügen kann.7.2.1 Das Modell unabhängiger ElektronenMit jedem Elektron i der Elektronenhülle, das sich in einem Einteilchenzustand Ψ qiLadungsverteilungbefindet, ist eineρ(r i ) = −e|Ψ qi (r i )| 2 (7.2.1)verbunden. Hierbei steht q i = n i ,l i ,m i ,m si für die den Zustand charakterisierenden Quantenzahlen. Wiewir aus der Elektrostatik wissen, erzeugt diese Ladungsverteilung für andere geladene Teilchen am Ortr j ein Potenzialφ(r j ) = −e4πε 0∫V|Ψ qi (r i )| 2r i jd 3 r i , (7.2.2)wobei r i j = |r j −r i |. Damit erhalten wir für das Potential, dem ein willkürlich herausgegriffenes Elektronj auf Grund der Präsenz der anderen Elektronen ausgesetzt ist,φ j (r j ) = −e ∫4πε 0∑i≠ jV|Ψ qi (r i )| 2r i jd 3 r i . (7.2.3)Mitteln wir dieses Potenzial über alle Winkel, so erhalten wir zusammen mit dem Kernpotenzial eineffektives, kugelsymmetrisches Zentralpotenzial φ eff (r):φ j,eff (r j ) =⎡ 〈e⎣ Z −4πε 0 r j∑∫i≠ jV|Ψ qi (r i )| 2r i jd 3 r i〉 ⎤ ⎦ . (7.2.4)2003