Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

508 R. GROSS Kapitel 13: Quantenstatistikk F =(3π 2 N V) 1/3(13.3.22)ε F = ¯h2 k 2 F2m = ¯h22m(3π 2 N V) 2/3. (13.3.23)Wir sehen, dass die Fermi-Wellenlänge λ F = 2π/k F ∝ (V /N) 1/3 proportional zum mittleren Abstandder Elektronen ist. Alle Zustände mit λ ≥ λ F sind bei T = 0 besetzt, alle mit λ ≤ λ F unbesetzt. Dieentsprechende Zahl der Elektronen pro Energieintervall, dN/dε, ist in Abb. 13.7 gezeigt. Die Zahl derZustände steigt proportional zu √ ε und fällt dann bei ε = µ für T = 0 abrupt auf Null ab. Für endlicheTemperaturen wird dieser abrupte Abfall etwas aufgeweicht.Abschätzung für Kupfer: Mit der Dichte von 9 g/cm 3 und dem Atomgewicht von 63.5 g/mol erhaltenwir für Kupfer 9/63.5 = 0.14 mol Kupfer pro cm 3 . Ein Mol Kupfer enthält N A = 6.022×10 23 Atome.Mit einem Leitungselektron pro Kupferatom erhalten wir also N A /V = 8.4 × 10 22 Elektronen/cm 3 . Mitder Elektronenmasse von m = 9.1 × 10 −28 g erhalten wirε F (Cu) ≃ 6.96 eV T F (Cu) ≡ ε Fk B≃ 80 000 K .Die Größe T F nennen wir Fermi-Temperatur. Wir sehen, dass die Fermi-Temperatur wesentlich größer alsRaumtemperatur ist. Die Fermi-Verteilung bei Raumtemperatur entspricht also in etwa der in Abb. 13.3gezeigten Kurve mit µ/k B T = 200. Für diese Verteilung ist µ ≫ k B T und das chemische Potenzialentspricht etwa dem Wert bei T = 0, das heißt es giltµ(300K) ≃ µ(0) = ε F .Spezifische Wärme eines MetallsDa es in einem Metall sehr viele Elektronen mit ε ≪ ε F = µ(0) gibt (siehe Abb. 13.7), die allein vollständig besetzten Zuständen sind, spielen diese Elektronen für einige makroskopische Größenüberhaupt keine Rolle. Wir wollen dies anhand der spezifischen Wärme eines Metalls diskutieren. Diespezifische Wärme ist durchC V =( ) ∂U∂TV(13.3.24)definiert. Wir müssen also die mittlere Energie U des Elektronengases als Funktion der Temperatur kennen.Würden die Elektronen einer klassischen Maxwell-Boltzmann-Verteilung gehorchen, dann würdeder Gleichverteilungssatzc○Walther-Meißner-Institut