Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.3 PHYSIK IV 99folgt A = 1/ √ 2π und wir erhalten die normierten Lösungsfunktionenφ m (ϕ) =1√2πexp(imϕ) . (3.3.22)Man kann leicht zeigen, dass diese Lösungsfunktionen orthogonal sind, d.h. es gilt∫2π0φ ⋆ mφ n dϕ = δ mn . (3.3.23)Die Lösungsfunktionen bilden damit im Intervall 0 ≤ ϕ ≤ 2π ein orthonormiertes Funktionensystem.Wir wollen als nächstes die Lösungsfunktionen θ(ϑ) bestimmen. Dazu dividieren wir die linke Seitevon Gleichung (3.3.17), die ja gleich C 1 = m 2 ist, durch sin 2 ϑ und ordnen sie so um, dass rechts nurTerme stehen, die von ϑ abhängen, während links nur r-abhängige Terme verbleiben. Wir erhalten1 dR dr(r 2 dR )+ 2µdr ¯h 2 r2 [E −V (r)] = − 1θ sinϑ(dsinϑ dθ )+ m2dϑ dϑ sin 2 ϑ = C 2 . (3.3.24)Wiederum hängt die linke Seite dieser Gleichung nur von r ab, die rechte dagegen nur von ϑ. BeideSeiten müssen deshalb gleich einer Konstanten C 2 sein. Für die Funktion θ(ϑ) erhalten wir damit(1 dsinϑ dθ )− m2θ sinϑ dϑ dϑ sin 2 ϑ = −C 2 . (3.3.25)Für den Fall m = 0 geht (3.3.25) mit x = cosϑ in die Legendresche Differentialgleichung 12[d(1 − x 2 ) dθ ]+C 2 θ = 0 (3.3.26)dx dxüber. Ihre Lösung setzen wir in Form einer Potenzreihe θ = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +... an. Damit θ auch für x =±1 endlich bleibt, darf die Reihe nur endlich viele Glieder haben. Setzt man den Potenzreihenansatz in(3.3.26) ein, so erhält man durch Vergleich der Koeffizienten gleicher Potenzen x k die Rekursionsformela k+2 = a kk(k + 1) −C 2(k + 2)(k + 1) . (3.3.27)12 Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833).2003