Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 7.1 PHYSIK IV 239-er 12r 2α+Zer 1-eAbbildung 7.1: Heliumatom.r 2 12 = |r 1 − r 2 | 2 = r 2 1 + r 2 2 − 2r 1 r 2 cosα . (7.1.4)Ein wichtige Folge dieser Tatsache ist, dass wir jetzt nicht mehr wie beim Wasserstoffatom die Wellenfunktionin einen Radial- und einen Winkelanteil separieren können. Die Schrödinger-Gleichung ist deshalbnicht mehr analytisch lösbar. Diese Feststellung trifft natürlich auch auf Atome mit einer größerenAnzahl von Elektronen zu.7.1.1 Die ZentralfeldnäherungDie Wechselwirkung der Elektronen untereinander verhindert eine Trennung des mathematischen Problemsbezüglich der Variablen der Einzelelektronen. Als Ausgangspunkt weiterer Betrachtungen benutzenwir deshalb Modellsysteme, bei denen der Einfluss der restlichen Elektronen auf den Zustand einesbestimmten Elektrons i durch ein effektives, kugelsymmetrisches Zentralpotenzial V Z (r i ) beschriebenwird. Wir erhalten also eine Summe von Einteilchenoperatoren der FormĤ Z =Z∑i=1− ¯h22m ∇2 i + ̂V Z (r i ) , (7.1.5)wobei die Summe beim Heliumatom bis Z = 2 läuft. Alle über das Zentralfeld hinausgehenden Korrekturensind als Störungen zu betrachten. Für das Helium wäre die Störung dann 2Ĥ korr =e 24πε 0 r 12. (7.1.6)Die einfachste Näherung wäre diejenige, diesen Term einfach zu vernachlässigen. Wir könnten dann dieSchrödinger-Gleichung durch einen Produktansatz Ψ(r 1 ,r 2 ) = Ψ 1 (r 1 )·Ψ 2 (r 2 ) lösen. Mit diesem Ansatz2 Für Atome mit einer größeren Anzahl von Atomen erhält manZ eĤ korr = ∑2 Zi,k=1;i